«Կոմպլեքս թիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Հետագայում գտել են, որ '''կոմպլեքս թվերի''' օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:<br />

'''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունը սովորաբար նշանակում են <math>\C</math>-ով /լատ.{{lang-la|Complex}} - ''complex'կոմպլեքս''' բառից/:<br />

'''Կոմպլեքս թվերի''' դաշտը կարելի է հասկանալ որպես [[իրական թվեր]]ի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,<math>\ z^2 \ =-1 </math> ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ [[իրական թվեր]]ի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են [['''կեղծ թվեր]]''':<br />

Ցանկացած այսպիսի '''կեղծ թիվ''' կարելի է ներկայացնել երկու [[իրական թվերիթվեր]]ի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ <math>\ x+iy </math>, որտեղ <math>\ x </math>-ը և <math>\ y </math>-ը [[իրական թվեր]] են, իսկ <math>\ i </math>-ն՝ կեղծ միավոր: Հիմք ընդունելով սա, '''կեղծ թիվը''' այժմ հաճախ անվանում են '''կոմպլեքս''': '''Կոմպլեքս թվի''' այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական: Գոյություն ունեն '''կոմպլեքս թվերի''' ներկայացման այլ ձևեր:<br />

Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է: Բերված երկու սահմանումները բերում են [[իրական թվերի]] դաշտի <math> \R </math> ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և <math>\ z^2 + 1 </math> բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ: '''Կոմպլեքս թվերը''' ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով <math>\ n </math> աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ <math>\ n </math> կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը): Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում '''կոմպլեքս թվերի''' լայն կիրառման համար: <br />

<math>\ z </math> կարելի է արտահայտել որպես երկու [[իրական թվերիթվեր]]ի զույգ՝ <math>\ (x, y) </math>: Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝<br />

Այս մոդելում [[իրական թվերըթվեր]]ը հանդիսանում են '''կոմպլեքս թվերի''' ենթաբազմություն և ներկայացվում են <math>\ (x; 0) </math> զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են [[իրական թվերիթվեր]]ի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ: Զրոն[[Զրո]]ն ներկայացվում է <math>\ 0=(0; 0) </math> զույգով, իսկ մեկը՝ <math>\ 1=(1; 0) </math> զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ <math>\ i=(0; 1) </math> զույգով: '''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունում զրոն[[զրո]]ն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես [[իրական թվերիթվեր]]ի բազմությունում, իսկ '''կեղծ թվի''' քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է <math>\ (-1; 0) </math>, այսինքն՝ <math>\ -1 </math>: <br />

Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն [[իրական թվերիթվեր]]ի հետ: Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված:<br />

'''Կոմպլեքս թվերը''' կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝ <br />

<math>\ a+bi=c+di </math> համեմատումը նշանակում է, որ <math>\ a=c </math> և <math>\ b=d </math> (երկու '''կոմպլեքս թվեր''' հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը):<br />

[[Պատկեր:complex-erkrachapakan.png|thumb|Նկ. 1 '''Կոմպլեքս թվի''' երկրաչափական մոդելը]]

Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Յուրաքանչյուր '''կոմպլեքս թվին''' <math>\ z = x + i y </math> հարթության վրա համապատասխանեցնենք <math>\ (x, y) </math> կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ): Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն): Նրանում [[իրական թվերըթվեր]]ը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ:<br />

Այս ներկայացման ձևում '''կոմպլեքս թվերի''' գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին: '''Կոմպլեքս թվերի''' արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում: Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին: Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները:<br />

Հարթության վրա '''կոմպլեքս թվերը''' որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ '''կոմպլեքս թվի''' վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ '''կոմպլեքս թիվը''' հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ [[իրական թվերիթվեր]]ի դաշտի վրա:<br />

'''Կոմպլեքս թվի''' երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ: Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց:<br />