Ռյոլոյի եռանկյուն

Ռյոլոյի եռանկյուն, երեք այնպիսի հավասար շրջանների հատում, որոնց կենտրոնները հավասարակողմ եռանկյան գագաթներ են, իսկ շառավիղները հավասար են այդ կանոնավոր եռանկյան կողմին։ Ոչ հարթ փակ կորը, որը սահմանափակում է այդ պատկերը, ևս կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյուն։

Ռյոլոյի եռանկյան կառուցումը

Շրջանից հետո Ռյոլոյի եռանկյունն ամենապարզ անփոփոխ լայնության պատկերն է։ Այսինքն, եթե Ռյոլոյի եռանկյանը տանենք երկու զուգահեռ հենակետային ուղիղներ, ապա անկախ ընտրված ուղղությունից նրանց միջև հեռավորությունն անփոփոխ կմնա։ Այդ հեռավորությունը կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյան լայնություն։

Այլ անփոփոխ լայնության պատկերների շարքում Ռյոլոյի եռանկյունն առանձնանում է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով՝ նվազագույն մակերեսով, գագաթի հնարավոր նվազագույն անկյունով, կենտրոնի նկատմամբ նվազագույն համաչափությամբ։ Եռանկյունը տեխնիկայում մեծ տարածում է ստացել։ Նրա հիմքով են պատրաստվել ճանկավոր ու գրեյֆերավոր մեխանիզմները, Վանկելի ռոտորա-մխոցային շարժիչները, անգամ շաղափիչները, որոնք հնարավորություն են տալիս քառակուսաձև անցքեր ծակել։

Պատկերի անվանումն առաջացել է գերմանացի մեխանիկ Ֆրանց Ռյոլոյի ազգանունից։ Նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց այս եռանկյան բնութագրիչ հատկությունները և դրանք օգտագործեց իր մեխանիզմներում։

Պատմություն

Mappamundi. Լեոնարդո դա Վինչի, մոտավորապես 1514 թվական

Ռյոլոն այս պատկերի առաջին հայտնագործողը չէր, չնայած նա մանրամասնորեն ուսումնասիրել է այն։ Մասնավորապես, նա հետազոտել է այն հարցը, թե քանի կոնտակտ է (կինեմատիկ զույգերով) անհրաժեշտ հարթ պատկերի շարժումը կանխելու համար, և քառակուսուն ներգծված կորացած եռանկյան օրինակով ցույց է տվել, որ անգամ երեք կոնտակտը կարող է բավական չլինել պատկերի շարժումը կանխելու համար։

Լեոնարդո դա Վինչի, A հին ձեռագիր, 15-րդ դարի թուղթ

Որոշ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ շրջանագծի հավասար աղեղներով կառուցված եռանկյունն առաջին անգամ կիրառել է Լեոնարդ Էյլերը 18-րդ դարում։ Սակայն նման պատկեր հանդիպում է նաև առավել վաղ շրջանի՝ 15-րդ դարի ձեռագրերում. այդպիսի եռանկյուններ գծագրել է նաև Լեոնարդո դա Վինչին։ Ռյոլոյի եռանկյունը կա նրա A և B հին ձեռագրերում, որոնք պահպանվում են Ֆրանսիայի Ինստիտուտում, ինչպես նաև Մադրիդյան կոդեքսում։

Մոտավորապես 1514 թվականին Լեոնարդո դա Վինչին ստեղծում է որպես այդպիսին առաջին աշխարհի քարտեզներից մեկը։ Երկրագնդի մակերևույթն այդ քարտեզում հասարակածով և երկու այլ միջօրեականներով (այդ միջօրեականների հարթությունների միջև անկյունը հավասար է 90°) нբաժանված է ութ սֆերիկ եռանկյունների, որոնք քարտեզի հարթությունում պատկերված էին Ռյոլոյի եռանկյունների ձևով, որոնք յուրաքանչյուր բևեռի մոտ չորսական հավաքված են։

Ավելի վաղ՝ 13-րդ դարում, Բրյուգգեի Աստվածամոր տաճարի կառուցողները որոշ պատուհաններ կառուցել են հենց Ռյոլոյի եռանկյան ձևով։

Հատկություններ

Ռյոլոյի եռանկյունը իրենից ներկայացնում է հարթ ուռուցիկ երկրաչափական պատկեր։

Հիմնական երկրաչափական բնութագրեր

Եթե Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը նշանակենք $a$, ապա նրա մակերեսը հավասար կլինի $S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},$ պարագիծը՝ $p=\pi a,$ նեգծյալ շրջանագծի շառավիղը՝$r=\left(1-{{1} \over {\sqrt {3}}}\right)\cdot a,$ իսկ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ $R={{a} \over {\sqrt {3}}}$։

Համաչափություն

Ռյոլոյի եռանկյունն ունի առանցքային համաչափություն։ Այն ունի երկրորդ կարգի երեք համաչափության առանցքներ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և հանդիպակաց աղեղի միջնակետով։ Բացի այդ Ռյոլոյի եռանկյունն ունի երրորդ կարգի ևս մեկ համաչափության առանցք, որն ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով։ Այսպիսով, Ռյոլոյի եռանկյան համաչափության խումբը բաղկացած է վեց արտացոլումներից (ներառյալ նույնանունները) և համընկնում է հավասարակողմ եռանկյան $D_{3}$ խմբի համաչափության հետ։

Կառուցումը կարկինով

Ռյոլոյի եռանկյուն կարելի է կառուցել օգտվելով միայն կարկինից (կարելի է նույնիսկ քանոն չօգտագործել)։ Որպեսզի կառուցենք Ռյոլոյի եռանկյունը, պետք է հետևենք շրջանագծերը գծելու հետևյալ երեք կանոններին։ Առաջին շրջանագծի կենտրոնը ընտրում ենք կամայական ձևով, երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվի առաջին շրջանագծի վրա, իսկ երրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է լինի նախորդ երկու շրջանագծերի երկու հատման կետերից որևէ մեկը։

Հատկություններ, որոնք ընդհանուր են հավասար լայնություն ունեցող պատկերների համար

Քանի որ Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը հաստատուն է, ապա այն օժտված է այդ դասին պատկանող բոլոր պատկերների հատկություններով։ Մասնավորապես՝

• $a$ լայնություն ունեցող Ռյոլոյի եռանկյան երկու կամայական կետերի միջև հեռավորությունը չի կարող գերազանցել $a$-ն,
• այն շրջանագծի շառավիղը, որը Ռյոլոյի եռանկյան հետ ունի ամենաքիչը երեք ընդհանուր կետ, չի գերազանցում եռանկյան լայնությունը,
• ըստ Հանֆրիդ Լենցի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյունը չի կարելի բաժանել այնպիսի երկու հավասար պատկերների, որոնց տրամագիծը փոքր կլինի եռանկյան լայնությունից,
• Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է ներգծել քառակուսի, ինչպես նաև կանոնավոր վեցանկյուն,
• ըստ Բարբեի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյան պարագծի բանաձևը գործում է այլ նույն լայնությունն ունեցող պատկերների համար։

Էքստրեմալ հատկություններ

Նվազագույն մակերես

$a$ հաստատուն լայնություն ունեցող պատկերներից նվազագույն մակերեսն ունի Ռյոլոյի եռնակյունը։ Այս պնդումը կրում է Բլաշկե-Լեբեգի թեորեմ անվանումը։ Թեորեմն անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Վիլհելմ Յոհան Բլաշկեի (տպագրել է այս թեորեմը 1915 թվականին) և ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Հենրի Լեբեգի (սահմանել է այս թեորեմը 1914 թվականին) պատվին։ Տարբեր ժամանակաշրջաններում այս թեորեմը փորձել են ապացուցել Մացուսաբուրո Ֆուձիվարան (1927 և 1931 թվականներ), Անթոն Մեյերը (1935 թվական), Հարոլդ Էգլստոնը (1952 թվական), Աբրամ Բեզիմովիչը (1963 թվական), Դոնալդ Չակերիանը (1966 թվական), Էվանս Հարելը (2002 թվական) և այլ մաթեմատիկոսներ։

Որպեսզի գտնենք Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը, անհրաժեշտ է գումարել ներքին հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը՝ $S_{\triangle }={{\sqrt {3}} \over {4}}\cdot a^{2}$, 60° անկյան վրա հենված երեք մնացած նույնատիպ շրջանագծային սեգմենտների գումարային մակերեսի հետ՝ $(S_{seg}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\right)={\left({{\pi } \over {6}}-{{\sqrt {3}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}})$։ Մակերեսի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝ $S_{rt}=S_{\triangle }+3S_{seg}={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\ldots$։

Շրջանագիծն այն պատկերն է, որն օժտված է հակառակ էքստրեմալ հատկություններով։ $a$ լայնություն ունեցող շրջանագծի մակերեսը հավասար է $S_{\circ }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots$, որը համարվում է մաքսիմալ մակերես այն պատկերների համար, որոնք ունեն հաստատուն $a$ լայնություն։ Համապատասխան Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը փոքր է շրջանագծի մակերեսից ≈10, 27 %-ով։ Այս սահմաններում են ընկնում մնացած երկրաչափական պատկերների մակերեսները։

Ռյոլոյի եռանկյան գլորումը քառակուսու մեջ

Գլորում քառակուսիով

Կամայական հաստատուն լայնությամբ պատկեր կարող է ներգծվել այնպիսի քառակուսու, որի կողմը հավասար է պատկերի լայնությանը, ընդ որում քառակուսու գագաթների ուղղությունը կարելի է ընտրել կամայական ձևով։ Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է արտագծել քառակուսի, որի մեջ այն կգլորվի՝ անընդհատ շոշափելով բոլոր չորս կողմերը։

Գլորման ընթացքում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթ «անցնում է» քառակուսու պարագծին մոտ «ճանապարհ»։ Շեղումը հիմնականում գրանցվում է քառակուսու անկյուններում, որտեղ եռանկյան գագաթը գծում է էլիպսի աղեղ։ Այդ էլիպսի կենտրոնը գտնվում է քառակուսու հանդիպակաց անկյունում, իսկ նրա մեծ և փոքր առանցքները քառակուսու կողմերի նկատմամբ թեքված են 45° անկյան տակ և հավասար են՝ $a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),$ որտեղ $a$-ն՝ եռանկյան լայնությունն է։ Չորս էլիպսներից յուրաքանչյուրը շոշափում է քառակուսու երկու կից կողմերը քառակուսու անկյունից $a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\ldots$ հեռավորության վրա։

Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որը Ռյոլոյի եռանկյան քառակուսիով գլորվելու ժամանակ գծում է պատկերի եզրերից մեկը (նրա սահմանը ցուցադրված է սև գույնով)	Պատկերի գլորումից առաջացած անկյունը, պատկերված են նաև եռանկյան և քառակուսու հատման կետերը

Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը շարժվում է չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած հետագծով։ Այդ էլիպսների կենտրոնները տեղակայված են քառակուսու գագաթներում, իսկ առանցքները թեքված են քառակուսու կողմերի նկատմամբ 45° անկյան տակ և հավասար են` $a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3}}}\right)$:

Սովորաբար իրականության մեջ կենտրոնի շարժման հետագիծը համարում են ոչ թե չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած պատկերը, այլ նրա մակերեսին մոտ շրջանագիծը։

Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որն ընդգրկում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնի անցած ճանապարհի մեկ չորրորդ մասը	Սա այն հետագիծն է, որով շարժվում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը, կապույտով ընդգծված է իդեալականացված շրջանագիծը, իսկ սևով՝ էլիպսը

Գլորումով պայմանավորված յուրաքանչյուր ազատ անկյան մասի մակերեսը հավասար է $\beta =a^{2}\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)$։ Քառակուսու մակերեսից հանելով այս մակերեսը, կարելի է ստանալ այն պատկերի մակերեսը, որն առաջանում է Ռյոլոյի եռանկյունը քառակուսու մեջ գլորվելուց հետո, այսպիսով` $a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+{{\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2}\cdot 0{,}98770\ldots$:

Այս մակերեսը տարբերվում է քառակուսու մակերեսից ≈1, 2 %-ով, այդ իսկ պատճառով Ռյոլոյի եռանկյան մոդելով ստեղծում են շաղափիչներ, որոնցից հնարավոր է ստանալ համարյա քառակուսի անցքեր։

Կիրառությունը

Քառակուսաձև անցքերի բացումը

«Մենք բոլորս լսել ենք մանեկադարձիչների մասին, որոնք նախատեսված են ձախ պարուրակով մանեկների համար, որոնք հանգույցի մասում ամրացված են ջրատար և այլ խողովակներին։ Մենք նմանատիպ իրերը ծիծաղելի էինք համարում և հրաժարվում էնք անգամ հավատալ, որ մի օր իրականում կհանդիպենք դրանց։ Եվ հանկարծ ի հայտ է գալիս գործիք, որը քառակուսաձև անցքեր է բացում։»

Watts Brothers Tool Works ընկերության գովազդային թերթիկ

Ֆրեզերը, որոնցում կիրառված է կտրող սուր ծայրերով Ռյոլոյի եռանկյուն, հնարավորություն են տալիս ստանալ քառակուսաձև անցքեր։ Նմանատիպ անցքերը սովորական քառակուսուց տարբերվում են փոքր-ինչ կլորացած գագաթներով։ Այսպիսի ֆրեզների մյուս յուրահատկությունն այն է, որ նրանց կենտրոնը պտտվելիս անշարժ չի մնում, ինչպես առօրյայում կիրառվող պարուրաձև շաղափների դեպքում։ Այս դեպքում կենտրոնը գծում է կոր, որը կազմված է չորս էլիպսային աղեղներից։ Այդ իսկ պատճառով պատրոնը, որին ամրացված է ֆրեզը չպետք է խոչընդոտի այդ շարժմանը։

Առաջին անգամ նման կառուցվածք ստացավ ԱՄՆ-ում աշխատող անգլիացի ինժեներ Գարի Ուատսը։ Անցք բացելու համար նա օգտագործում էր քառակուսաձև կտրվածքով ուղղիչ շաբլոնը, որում շարժվում էր շաղափը, որում տեղադրված էր «լողացող պատրոն»։ Պատրոնի պատենտներն ու շաղափը ստացվել էին Ուատսի կողմից, 1917 թվականին։ Նոր նմանատիպ շաղափիչների վաճառքն իրականացնում էր Watts Brothers Tool Works^[en]։ Այս հայտնագործություն հիման վրա 1978 թվականին ԱՄՆ-ն ևս մի պատենտ թողարկեց։

Վանկելի շարժիչ

Վանկելի շարժիչի աշխատանքի սխեման

Կիրառության այլ օրինակ կարելի է գտնել Վանկելի շարժիչում. այստեղ ռոտորը Ռյոլոյի եռանկյան ձևով է։ Այն պտտվում է էպիտրոհոիդային ձևի խցի ներսում։ Ռոտորի գլանը կոպտորեն միացված է ատամնանիվի, որը կապված է այլ անշարժ ատամնանիվի։ Նման եռանիստ ռոտորը գլորվում է ատամնանիվի շուրջը անընդհատ հպվելով շարժիչի պատերին՝ առաջացնելով փոփոխական ծավալներով երեք խոռոչ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով դառնում է այրման խցիկ։ Այդպիսի կառուցվածքի շնորհիվ շարժիչը երեք լիարժեք աշխատանքային ցիկլ է իրականացնում մեկ պտույտի ընթացքում։

Վանկելի շարժիչը հնարավորություն է տալիս իրականացնել յուրաքանչյուր քառատակտ ջերմադինամիկական ցիկլ առտանց գազաբաշխման մեխանիզմի կիրառության։ Խառնուրդաձևավորումը, այրումը, յուղումը, սառեցումը և անկումը այստեղ կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչպես մյուս ներքին այրման շարժիչներում։

Գրականություն

Ռուսերեն լեզվով

• Радемахер Г., Тёплиц О. Кривые постоянной ширины // Числа и фигуры. Опыты математического мышления / Пер. с нем. В. И. Контовта. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 195—211. — 263 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 10). — 40 000 экз.
• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 4). — 25 000 экз.

Անգլերեն լեզվով

• Eggleston H. G. Sets of Constant Width // Convexity. — London: Cambridge University Press, 1958. — P. 122—131. — 136 p. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). — ISBN 0-5210-7734-6
• Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5
• Gleißner W., Zeitler H. The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass. — Results in Mathematics. — 2000. — Vol. 37. — P. 335—344.
• Moon F. C. Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. — Dordrecht: Springer, 2007. — P. 239—241. — 451 p. — (History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2). — ISBN 978-1-4020-5598-0
• Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 2002. — P. 141—144. — 180 p. — (Spectrum Series). — ISBN 0-8838-5537-2
• Reuleaux F. Pairs of Elements // The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines / Tr. and ed. by Alexander B. W. Kennedy. — London: Macmillan and Co, 1876. — P. 86—168. — 622 p.
• Smith S. Drilling Square Holes. — Mathematics Teacher. — Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1993. — Vol. 86. — P. 579—583.

Արտաքին հղումներ

• «Մաթեմատիկական էտյուդներ» շարքի Ռյոլոյի եռանկյանը նվիրված հոլովակների սերիա.
  • «Ռյոլոյի կլոր եռանկյուն»
  • «Քառակուսաձև անցքերի բացում»
  • «Հայտնագործելով անիվըԱրխիվացված 2012-05-28 Wayback Machine»
• Bogomolny A. «Shapes of Constant Width». Cut the Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Eppstein D. «Reuleaux Triangles». Geometry Junkyard (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Kunkel P. «Reuleaux Triangle». Whistler Alley Mathematics (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Peterson I. «Rolling with Reuleaux». Ivars Peterson’s MathLand (անգլերեն). Mathematical Association of America. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Taimina D., Henderson D. W. «Reuleaux Triangle». Kinematic Models for Design Digital Library (անգլերեն). Cornell University. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.{{cite web}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)
• Weisstein E. W. [in անգլերեն]. «Reuleaux Triangle». Wolfram MathWorld (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ նոյեմբերի 6-ին.