Թվաբանական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որն ունի հետևյալ տեսքը՝
a
1
,
a
1
+
d
,
a
1
+
2
d
,
…
,
a
1
+
(
n
−
1
)
d
,
…
{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }
այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն
d
{\displaystyle d}
a
n
=
a
n
−
1
+
d
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }
Ցանկացած (n -րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է
d
>
0
{\displaystyle d>0}
d
<
0
{\displaystyle d<0}
Թվաբանական պրոգրեսիայի n -րդ անդամի բանաձևը՝
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
Առաջին
n
{\displaystyle n}
խմբագրել
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին
n
{\displaystyle n}
S
n
=
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}
S
n
=
a
1
+
a
n
2
⋅
n
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
2
⋅
n
{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
n
{\displaystyle n}
Ապացույց .
Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
…
+
a
n
−
2
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}
S
n
=
a
n
+
a
n
−
1
+
a
n
−
2
+
…
+
a
3
+
a
2
+
a
1
{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}
Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
2
+
a
n
−
1
)
+
(
a
3
+
a
n
−
2
)
+
…
+
(
a
n
−
2
+
a
3
)
+
(
a
n
−
1
+
a
2
)
+
(
a
n
+
a
1
)
{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}
Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝
a
i
+
a
n
−
i
+
1
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}
Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝
a
i
+
a
n
−
i
+
1
=
a
1
+
(
i
−
1
)
d
+
a
1
+
(
n
−
i
+
1
−
1
)
d
=
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}
որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}
a
1
+
a
n
=
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}
Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է
n
{\displaystyle n}
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
⋅
n
⇒
S
n
=
a
1
+
a
n
2
⋅
n
{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}
Արտաքին հղումներ
խմբագրել
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 9, էջ 433 )։
