Մոնժի թեորեմ

Մոնժի թեորեմ, երեք շրջանագծերի մասին թեորեմ, որն առաջարկվել է Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի և ապացուցվել Գասպար Մոնժի կողմից։

Կարմիրով, կապույտով ու կանաչով նշված են շրջանագծերի զույգերի ներքին ընդհանուր շոշափողները

Թեորեմ Ամբողջությամբ մեկը մյուսի մեջ չմտնող երեք շրջանագծերի բոլոր հնարավոր զույգերի ներքին ընդհանուր շոշափողների հատման կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա։ Գասպար Մոնժ, 1798

Ապացույց

Ընդունենք, որ r₁, r₂ և r₃-ը համապատասխանաբար O₁, O₂ և O₃ շրջանագծերի շառավիղներն են։ Z_ij-ն O_i և O_j շրջանագծերի ներքին ընդհանուր շոշափողների հատման կետն է։

Օգտվելով Թալեսի թեորեմից` կստանանք

${\frac {O_{2}Z_{23}}{O_{3}Z_{23}}}={\frac {r_{2}}{r_{3}}},\quad {\frac {O_{1}Z_{13}}{O_{3}Z_{13}}}={\frac {r_{1}}{r_{3}}},\quad {\frac {O_{2}Z_{12}}{O_{1}Z_{12}}}={\frac {r_{2}}{r_{1}}}$.

Բազմապատկելով իրար` կստանանք

${\frac {O_{2}Z_{23}}{O_{3}Z_{23}}}{\frac {O_{1}Z_{13}}{O_{3}Z_{13}}}{\frac {O_{2}Z_{12}}{O_{1}Z_{12}}}={\frac {r_{2}}{r_{3}}}{\frac {r_{3}}{r_{1}}}{\frac {r_{1}}{r_{2}}}=1$,

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի` Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁ կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա։

Արտաքին հղումներ

• «Դուրս դեպի տարածություն»

Տես նաև

• Թալեսի թեորեմ
• Մենելաոսի թեորեմ