Մոդուլ օղակի վրա

Մոդուլ օղակի վրա, ընդհանուր հանրահաշվի հիմնական հասկացություններից մեկն է, հանդիսանալով երկու հանրահաշվական հասկացությունների ընդհանրացում՝ վեկտորային տարածության (փաստորեն դաշտում վեկտորական տարածութունը մոդուլ է) և աբելյան խմբի, (որը մոդուլ՝ ամբողջ թվերի օղակում) $\mathbb {Z}$).1

Կոմուտատիվ հանրահաշվի հիմքում է ընկած մոդուլի հասկացությունը, որը կարևոր դեր է խաղում մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են

• հանրահաշվական երկրաչափություն
• հոմոլոգային հանրահաշիվ
• պատկերացումների տեսություն

Հիմնավորում

Վեկտորական տարածությունում սկալյարների բազմությունը կազմում է դաշտ և բազմապատկումը սկալյարով բավարարվում է մի քանի աքսոմներով, ինչպիսին, բազմապատման բաշխականությունը։ Մոդուլում է միայն պահանջվում, որպեսզի օղակ կազմեն սկալյարները ասոցիատիվ միավորի հետ, աքսիոմները նույնպես մնում են նույնը։

Մոդուլի տեսության զգալի մասը կազմած է փորձերից՝ նրանցով ընդհանրացնել վեկտորական տարածութան հայտնի հատկությունները, երբեմն դրա համար պետք է լինում մոդուլները սահմանափակվել «իրեն լավ ներկայացնող» օղակներով, ինչպիսին գլխավոր իդեալների տիրույթը։ Սակայն մոդուլը ամբողջությամբ կարգավորելն ավելի դժվար է, քան վեկտորայնի տարածությունը։Օրինակ, բազիս ոչ յուրաքանչյուր մոդուլում կարելի է ընտրել և նույնիսկ այն ազատ մոդուլներում, որում հնարավոր է, կարող են ունենալ մի քանի բազիս տարբեր թվերի էլեմենտներով (ոչ տեղափոխական օղակի դեպքում)։

Սահմանում

Ենթադրենք  $R\$ —ը օղակ է (որպես կանոն, ընդունելով $1\in R$ միավոր տարրով տեղափոխական)։ R</math> $R$ մոդուլը անվանում են $M\$ [[աբելյան խմբիաբելյան խմբի  $R\$ օղակի էլեմենտների բազմապատկման գործողություններով ։ 

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,$

որը բավարարում է հետևյալ պայմաններին։

1) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),$

2) $\forall m\in M\quad 1m=m.$

3) $\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},$

4) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.$

Կիրառում։ Ոչ տեղափոխական ղաի դեպքում այդպիսի մոդուլին հաճախ անվանում են «ձախ»։ Ադ դեպքում Աջ անվանում են այնպիսի օբյեկտները, որի պայմանները 1) փոխարինված են հետևյալով

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

որ ավելի հարմար է բանաձևել, գրելով օղակի էլեմենտը մոդուլի էլեմենտից աջ$m$։

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ այստեղից և տերմինաբանություն։

$R\$ տեղափոխական օղակի դեպքում աջ և ձախ մոդուլների սահմանումները համընկնում են և նրանց պարզապես անվանում են մոդուլ։

$R\$ցանկացած օղակ կարելի է համարել ինքը իրեն մոդուլ (ոչ տեղափոխականի դեպքում այն հանդիսանում է նույնպես ինքն իրեն աջ մոդուլ)։

Կապակցված սահմանումներ և հատկություններ

• $M_{R}\$ մոդուլի Ենթամոդուլ անվանում են $M\$ խմբի $B\$ ենթախումբ, փակված $R\$ տարրերի բազմապատկման վերաբերյալ, այսինքն այնպես, որ

$\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B$.

• Եթե R օղակը դիտել ինքը իրեն մոդուլ, ապա նրա ենթամոդուլը հանդիսանում է ձախ իդեալ, եթե դիտել աջ մոդուլ, ապա աջ իդեալ, տեղափոխականի դեպքում աջ և ձախ իդեալների հասկացությունները համընկնում են։

• Հոմոմորֆիզմ կամ $R$-հոմոմորֆիզմ $R$ մոդուլի $A$-ն և $B$-ն անվանում են հոմոմորֆիզ խումբ $\phi :A\to B$,որ համար իրագործելի է լրացուցիչ պայման $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$։ Այդպիսի բոլոր հոմոմորֆիզմների բազմությունները նշանակվում է $Hom_{R}(A,\ B)$ միջոցով. Այդ բազմության վրա կարելի է ներմուծել աբելյան խմբի կառուցվածքը, սահմանելով 0, $-$ և $+$ հետևյալ հավասարություններով

$0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a$։

դիտել ֆակտորմոդուլ $M/N$-ն ինչպես как множество $M$ -ի էլեմենտների համարժեքության դասի բազմություն, որոշելով տարրերի միջև համարժեքության առնչությունը։

$a\sim b$ այն և միայն այն ժամանակ, երբ $b-a$ պատկանում է $N$

Ֆակտորմոդուլի էլեմենտները հաճախ նշանակում են ինչպես $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$։ Գումարման և բազմապատկման գործողությունները որոշվում են $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$ բանաձևերով։

Օրինակներ

• Ցանկացած աբելյան խումբ, մոդուլ ամբողջ թվերի օղակի վրա։
• Գծային տարածություն $F$ գծային դաշտի վրա հանդիսանում է $F$-ի վրա մոդուլ։
• $V$ գծային տարածություն, մոդուլ օղակի վրա իր ամբողջ $L(V)$ գծային փոակերպումներով։
• Դիֆֆերենցիալ ձևեր $M$ հարթ բազմազանությամբ մատակարարված $M$ հարթ ֆունկցիաների բնական կառուցվածքով մոդուլ օղակի վրա։
• Եթե I-ն R օղակի ձախ իդեալն է, այն կլինի այդ նույն օղակի ձախ մոդուլը։ Հանգունորեն, աջ իդեալները կլինեն աջ մոդուլներ։

Մոդուլի տեսակներ

• վերջավործնված մոդուլ
• Ցիկլային մոդուլներ, մոդուլը կոչվում է ցիկլային, եթե այն առաջացել է մեկ տարրից։
• Ազատ մոդուլներ
• Պրոյեկտիվ մոդուլներ
• Ինեկտիվ մոդուլներ
• Անվերածելի մոդուլներ, մոդուլը կոչվում է անվերածելի, եթե այն չի կարելի վերածել երկու մոդուլների ուղիղ գումարի։
• Լրիվ վերածելի մոդուլներ , մոդուլներ, որոնք կարելի է վերածել անվերածելի ուղիղ գումարների։
• Պարզ մոդուլներ
• Կիսապարզ մոդուլներ
• Արտինովյան մոդուլներ
• Նետերովյա մոդուլներ

Պատմություն

Մոդուլների ամենապարզ օրինակները՝ աբելյան վերջավոր խմբեր, այսինքն՝ մոդուլ $\mathbb {Z}$,երևան են եկել դեռ Գաուսի մոտ ինչպես բինարային քառակուսային ձևի խմբերի տեսակներ։ Առաջին անգամ 60-80 թվականներին է հանդիպում մոդուլի ընդհանուր հասկացությունը։ Նվիրված էր XIX դարում Դեդեկինդի և Կրոնեկերի աշխատությունները հանրահաշվական թվերի և հանրահաշվական ֆունկցիաների թվաբանական դաշտերին։ Մոտավորապես այդ ժամանակ անցկացնելով ասոցիատիվ վերջավոր չափանի հանրահաշվի հետազոտությունը մասնավորապես հանրահաշվի խմբերի վերջավոր խմբերը (Բ․ Պիրս Ֆ․ Ֆրոբենուս), բերեց ոչ տեղափոխական օղակների մի քանի իդալների ուսումնասիրության։ Մոդուլի տեսության նախասկիզբը զարգացվել է առավելապես ինչպես որոշ օղակի իդելաների տեսություն։ Ավելի ուշ Է․ Նյոթերի և Վ․Կրուլլի(W. Krull) աշխատություններում նկատվեց, շատ արդյունքները հարմար է ձևակերպել և ապացուցել ցանկացած մոդուլների տերմիներով և ոչ միայն իդեալներով։

Գրականություն

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.