Միխաելիս-Մենթենի հավասարում

Միխաելիս-Մենթենի հավասարում, կենսաքիմիայում ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկայի հիմնարար հավասարում։ Այն անվանվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի պատվին։ Այս հավասարումը իրենից ներկայացնում է ֆերմենտատիվ ռեակցիայի $v$ արագության կախվածությունը ռեակցիայի ելանյութի՝ սուբստրարի $[S]$ կոնցենտրացիայից։ Հիմնարար հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպով

Ռեակցիայի արագության (V) կախվածությունը սուբստրատի կոնցենտրացիայից ([S]) արտահայտող գրաֆիկ

$v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{m}+[S]}}$

որտեղ՝

• $V_{\max }$ - համակարգի հնարավոր առավելագույն արագություն,
• $K_{m}$ - Միխաելիսի հաստատուն, սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում $V=V_{\max }/2$։

Ընդունված է համարել, որ մեկ սուբստրատ պարունակով կենսաքիմիական ռեակցիաները ընթանում են Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմով։

Նախատիպ

Միխաելիս-Մենթենի հավասարումը Գրացի տեխնիկական համալսարանի պատին

1903 թվականին ֆրանսիացի ֆիզիկական քիմիկոս Վիկտոր Անրին հայտնաբերել է, որ ֆերմենտատիվ ռեակցիաները ուղեկցվում են ֆերմենտի և սուբստրարի միջև հատուկ կապերի առաջացմամբ։ Նրա աշխատանքը հետագայում ուսումնասիրվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի կողմից, ովքեր հիմք են դրել ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկային և առաջին անգամ հայտնաբերել են ինվերտազա ֆերմենտի ազդման մեխանիզմը, որով նա կատալիզում է սախարոզի հիդրոլիզը մինչև գլյուկոզ և ֆրուկտոզ։ 1913 թվականին նրանք առաջարկեցին այս ռեակցիայի մաթեմատիկական մոդելը, որը հետագայում ընդլայնվեց և հիմք հանդիսացավ քիմիայի նոր բնագավառի զարգացմանը։ Մեխանիզմն իր մեջ է ներառում $E$ էնզիմի կապումը $S$ սուբստրատի հետ, որի հետևանքով նախ առաջանում է էնզիմ-սուբստրատային $ES$ կոմպլեքսը, որը հետագայում վերածվում է $P$ պրոդուկտի և $E$ էնզիմի։ Սխեմատիկորեն այս մեխանիզմը կարելի է պատկերել հետևյալ կերպով

$E+S\,{\overset {k_{f}}{\underset {k_{r}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{\mathrm {cat} }}{\longrightarrow }}\,E+P$ ,

որտեղ $k_{f}$, $k_{r}$ և $k_{\mathrm {cat} }$ իրենցից ներկայացնում են համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատունները, իսկ $S$-ի և $ES$-ի միջև կրկնակի սլաքը ցույց է տալիս, որ էնզիմի կապումը սուբստրատին դարձելի ռեակցիա է։

Որոշ մոտավորություններ անելուց հետո կարելի է ասել, որ պրոդուկտի առաջացման արագությունը տրվում է հետևյալ բանաձևով

$v={\frac {d[P]}{dt}}=V_{\max }{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}$

Ռեակցիայի արագությունը մեծանում և ձգտում է առավելագույն $V_{\max }$ արժեքին (այն արագությունը, որի դեպքում ամբողջ էնզիմը կապվել է սուբստրատի հետ), երբ մեծանում է սուբստրատի կոնցենտրացիան ($[S]$)։ Ցույց է տրված նաև, որ $V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}$, որտեղ $[E]_{0}$ - ֆերմենտի կոնցենտրացիան է, իսկ $k_{\mathrm {cat} }$ - սուբստրատի մոլեկուլների այն առավելագույն քանակը, որը վերածվել է պրոդուկտի միավոր ժամանակում և մեկ էնզիմի վրա հաշվարկած։

Միխաելիսի $K_{m}$ հաստատունը իրենից ներկայացնում է սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում $V=V_{\max }/2$, բացի այդ, այն բնութագրում է սուբստրատի հակաաֆինությունը էնզիմի նկատմամբ (որքան փոքր է $K_{m}$-ը, այնքան մեծ է աֆինությունը, հետևաբար արագությունը ավելի արագ կհասնի $V_{\max }$-ին)։ $K_{m}$-ի արժեքը կախված է ինչպես էնզիմից և սուբստրատից, այնպես էլ ռեակցիայի կատարման պայմաններից (ջերմաստիճան, pH)։

Այս նախատիպը օգտագործվում է նաև բազմաթիվ այլ կենսաքիմիական ոլորտներում (հակածին-հակամարմին փոխազդեցություն, ԴՆԹ-ԴՆԹ հիբրիդացում, սպիտակուց-սպիտակուց փոխազդեցություն)։ Այն կարող է կիրառվել նաև ընդհանուր կենսաքիմիական ռեակցիաներ ուսումնասիրելիս, օրինակ՝ Լենգմյուրի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս կազմել կենսաբանական օբյեկտների ադսորբցիայի մոդել կամ Մոնոդի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս գնահատել մանրէի աճը։

Միխաելիս-Մենթենի հավասարումը կիրառվում է ոչ միայն կենսաքիմիայում, այլ նաև բազմաթիվ այլ բնագավառներում (փոշու հատիկի ալվեոլային մաքրության որոշում, ջրավազանների կենդանական աշխարհի առատության որոշում, արյան մեջ ալկոհոլի քանակության որոշում, ֆոտոսինթեզ-ճառագայթում կախվածության որոշում, բակտերիալ վարակների ուսումնասիրություն)։

Կիրառություն

Ֆերմենտների պարամետրերը խստիվ տարբերվում են մեկը մյուսից։

Ֆերմենտ	$K_{m}$ (Մ)	$k_{\text{cat}}$ (1/վ)	$k_{\text{cat}}/K_{m}$ (1/Մ$\cdot$վ)
Խիմոտրիպսին	1.5 × 10−2	0.14	9.3
Պեպսին	3.0 × 10−4	0.50	1.7 × 103
Թիրոզիլ-փՌՆԹ սինթետազ	9.0 × 10−4	7.6	8.4 × 103
Ռիբոնուկլեազներ	7.9 × 10−3	7.9 × 102	1.0 × 105
Կարբոնատ դեհիդրազ	2.6 × 10−2	4.0 × 105	1.5 × 107
Ֆումարազ	5.0 × 10−6	8.0 × 102	1.6 × 108

$k_{\text{cat}}/K_{m}$ հաստատունը ցույց է տալիս, թե որքան է ֆերմենտի արդյունավետությունը սուբստրատին պրոդուկտ դարձնելու գործում։ Այն ունի մոտավոր վերին սահման (10⁸ – 10¹⁰ /Մ$\cdot$վ)։ Այն ֆերմենտները, որոնք աշխատում են այդ տիրույթում (ֆումարազա), կոչվում են գերարդյունավետ։

Կինետիկական բնութագիր

E էնզիմի, S սուբստրատի, ES կոմպլեքսի և P վերջանյութի կոնցենտրացիայի կախվածությունը ժամանակից արտահայտող գրաֆիկ

Դիտարկենք Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմը

$E+S\,{\overset {k_{f}}{\underset {k_{r}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{\mathrm {cat} }}{\longrightarrow }}\,E+P$

Կիրառելով զանգվածների ներգործության օրենքը, որը պնդում է, որ ռեակցիայի արագությունը ուղիղ համեմատական է ելանյութերի կոնցենտրացիաների արտադրյալին, ստանում ենք չորս ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ։

${\begin{aligned}{\frac {d[E]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]+k_{cat}[ES]\\{\frac {d[S]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]\\{\frac {d[ES]}{dt}}&=k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{cat}[ES]\\{\frac {d[P]}{dt}}&=k_{cat}[ES].\end{aligned}}$

Այս մեխանիզմում $E$ էնզիմը հանդիսանում է կատալիզատոր, որը միայն արագացնում է ռեակցիան, միաժամանակ նրա ամբողջ կոնցենտրացիան (կապված և ազատ ձևերի կոնցենտրացիաների գումարը՝ $[E]+[ES]=[E]_{0}$) հաստատուն մեծություն է։ Այս հավասարությունը հնարավոր է ստանալ նաև գումարելով առաջին և երրորդ դիֆերենցիալ հավասարումները։

Հավասարակշռային մոտավորություն

Իրականում Միխաելիսը և Մենթենը համարել են, որ սուբստրատը անմիջապես հավասարակշռության մեջ է մտնում կոմպլեքսի հետ և $k_{f}[E][S]=k_{r}[ES]$։ Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

$[ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{K_{d}+[S]}}$ ,

որտեղ $K_{d}=k_{r}/k_{f}$ իրենից ներկայացնում է էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքսի դիսոցման հաստատունը։

Հետևաբար ռեակցիայի $v$ արագությունը ($P$ պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

$v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{d}+[S]}}$ ,

որտեղ $V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}$ - ռեակցիայի առավելագույն արագությունն է։

Քվազիստացիոնար մոտավորություն

1925 թվականին բրիտանացի բուսաբան Ջորջ Էդվարդ Բրիգսը և բրիտանացի գենետիկ Հոլդեյնը առաջարկեցին այս մեխանիզմի մեկ այլ կինետիկական մեկնաբանություն։ Նրանք համարեցին, որ միջանկյալ կոմպլեքսի (ինտերմեդիատի) կոնցենտրացիան չի փոխվում պրոդուկտի առաջացման ժամանակից կախված (քվազիստացիոնար մոտավորություն)։ Մաթեմատիկորեն այս մոտավորությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպով

$k_{f}[E][S]=k_{r}[ES]+k_{\mathrm {cat} }[ES]$

Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

$[ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{K_{m}+[S]}}$ ,

որտեղ $K_{m}={\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}$ և հայտնի է Միխաելիսի հաստատուն անվանմամբ,

և որտեղ $k_{r}$, $k_{\mathrm {cat} }$ և ${k_{f}}$ համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատուններն են։

Հետևաբար ռեակցիայի $v$ արագությունը ($P$ պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

$v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{m}+[S]}}$

Մոտավորություններ և սահմանափակումներ

Առաջին մոտավորությունը կայանում է զանգվածների ներգործության օրենքի կիրառումը, քանի որ այն պահանջում է ազատ դիֆուզիա։ Պարզ է, որ կենդանի օրգանիզմի բջջում, որտեղ կա սպիտակուցների մեծ կոնցենտրացիա և, բացի այդ, ցիտոպլազման իրենից ներկայացնում է ավելի շուտ դոնդողանման, քան հեղուկ միջավայր, ապա մոլեկուլների շարժումները այդ միջավայրում խիստ սահմանափակված են։ Քանի դեռ զանգվածների ներգործության օրենքը թույլ է տալիս այն կիրառել հետերոգեն համակարգերում, ապա նպատակահարմար կլինի ցիտոպլազման դիտել որպես ֆրակտալ։

Երկու տարբեր մոտավորություններով ստացված ռեակցիայի արագությունները գրեթե նույնն են։ Տարբերությունը կայանում է նրանում, որ հավասարակշռային մոտավորությունը բերում է $K_{d}$հաստատունին, իսկ քվազիստացիոնար մոտավորությունը՝ $K_{m}$ հաստատունին։ Միխաելիս-Մենթենի հավասարակշռային մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել այն դեպքում, երբ սուբստրատը հասնում է հավասարակշիռ վիճակի ավելի շուտ, քան առաջանում է պրոդուկտը կամ ավելի ճիշտ, երբ

$\epsilon _{d}={\frac {k_{\mathrm {cat} }}{k_{r}}}\ll 1$

Բրիգս-Հոլդեյնի քվազիստացիոնար մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել, երբ

$\epsilon _{m}={\frac {[E]_{0}}{[S]_{0}+K_{m}}}\ll 1$

Այսինքն այս մոտավորությունը տեղի ունի, եթե ֆերմենտի կոնցենտրացիան շատ փոքր է սուբստրատի կոնցենտրացիայից։ Եթե այս պահանջը բավարարված չէ, ապա $K_{m}$ հաստատունի մեծ արժեքները նույնպես ընդունելի պայման են հանդիսանում։

Ե՛վ Միխաելիս-Մենթենի, և՛ Բրիգս-Հոլդեյնի կատարած մոտավորությունները ավելի լավ տեսք են ընդունում, երբ $\epsilon \,\!$-ը նվազում է։

Շատ կարևոր պայման է նաև այն հանգամանքը, որ պետք է հաշվի առնել, որ ոչ մի ռեակցիա չի ընթանում մեկ ուղղությամբ։ Հետևաբար ֆերմենտատիվ ռեակցիայի մեխանիզմը ճիշտ կլինի գրել հետևյալ տեսքով

$E+S\,{\overset {k_{f_{1}}}{\underset {k_{r_{1}}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{f_{2}}}{\underset {k_{r_{2}}}{\rightleftharpoons }}}\,E+P$

Իրականում, կարելի է համարել, որ ռեակցիան անդարձելի է, եթե պահպանվում է հետևյալ պայմաններից գոնե մեկը
1. Սուբստրատ(ներ) ի կոնցենտրացիան շատ մեծ է պրոդուկտ(ներ) ի կոնցենտրացիայից

$[S]\gg [P]$

Այս պայմանը ճիշտ է հատուկ in vitro և բազմաթիվ in vivo պայմաններում ընթացող կենսաբանական ռեակցիաների համար։
2. Ռեակցիայից անջատված էներգիան շատ մեծ է

$\Delta {G}\ll 0$

Այն դեպքերում, երբ տեղի չունի հետևյալ երկու պայմաններից և ոչ մեկը, ապա սխալ է օգտագործել Միխաելիս-Մենթենի մոդելը։ Դրա փոխարեն կիրառում են ավելի բարդ մոդելավորման օրինակներ։

Հաստատունների որոշում

$V_{\max }$ և $K_{m}$ հաստատունների որոշման համար դիտարկում են նույն ֆերմենտատիվ ռեակցիան սուբստրատի տարբեր սկզբնական կոնցենտրացիաների համար և սկզբից չափում են ֆերմենտատիվ ռեակցիայի սկզբնական $v_{0}$ արագությունը։ Սկզբնական ասելով նկատի ունեն, որ ռեակցիայի արագությունը չափվել է այն կարճ ժամանակում, երբ էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքս է գոյացել, և, բացի այդ, սուբստրատի կոնցենտրացիան մնացել է մոտավորապես հաստատուն։ Ապա այդ հաստատունները կարելի է ստանալ կառուցելով ռեակցիայի արագության կախումը կոնցենտրացիայից արտահայտող գրաֆիկը։

Նախքան համակարգչային մոդելավորման ի հայտ գալը կիրառվել են բազմաթիվ այլ հավասարումներ այդ հաստատունների որոշման համար (Էդի-Հոֆսթիի դիագրամ, Հան-Վուլֆի դիագրամ, Լայնովեր-Բերգի դիագրամ)։

1997 թվականին Սանտյագո Շնելը և Կլաուդիո Մենդոզան առաջարկեցին Միխաելիս-Մենթենի մեխանիզմի լուծման փակ մի եղանակ։ Այժմ այն կրում է Շնել-Մենդոզայի հավասարում անվանումը և ունի հետևյալ տեսքը

${\frac {[S]}{K_{M}}}=W[F(t)]\,$ ,

որտեղ W[]՝ Լամբերտի W-ֆունկցիան է, իսկ F (t)-ն իրենից ներկայացնում է հետևյալ ֆունկցիան

$F(t)={\frac {[S]_{0}}{K_{M}}}\exp \!\left({\frac {[S]_{0}}{K_{M}}}-{\frac {V_{\max }}{K_{M}}}\,t\right)\,$

Շնել-Մենդոզայի հավասարումը ներկայումս լայնորեն կիրառվում է ֆերմենտատիվ ռեակցիաների $V_{\max }$ և $K_{m}$ հաստատունների որոշման համար։

Ստորև տրված հավասարումը առաջարկվել է 2010 թվականին Մարիո Բարբերան-Սանթոսի կողմից և այն ևս լավ մոդել է ծառայում ռեակցիայի հաստատունների որոշման համար։

${\frac {[S]}{K_{M}}}=W[F(t)]-{\frac {V_{\max }}{k_{cat}K_{M}}}\ {\frac {W[F(t)]}{1+W[F(t)]}}\,$

Տես նաև

• Լայնովեր-Բերգի դիագրամ
• Ֆերմենտի ակտիվ կենտրոն
• Քիմիական կինետիկա

Արտաքին հղումներ

• Միխաելիսի հաստատունի որոշում