Մերսենի թիվ

Մերսենի թվեր են համարվում M_n = 2ⁿ - 1 տեսքի թվերը, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ M_n-ը՝ պարզ։ Անունն ստացել են 17-րդ դարում դրանք ուսումնասիրած ֆրանսիացի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Մերսենի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :

Երբեմն Մերսենի թվեր անվանում են M_p թվերին, որտեղ p-ն պարզ թիվ է։ Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :

2013 թ. փետրվարի դրությամբ հայտնի է Մերսենի 48 թիվ։ Ամենամեծ հայտնի 2^{57 885 161} − 1 պարզ թիվը Մերսենի պարզ թիվ է։ 1997-ից սկսած, Մերսենի բոլոր նոր թվերը հայտնաբերվել են “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) ինտերնետային հաշվողական նախագծով։

Հատկություններ

• Եթե M_n-ը պարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է։ Հակառակն, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ, ամենափոքր օրինակ է հանդիսանում՝ $M_{11}=2047=23\cdot 89$:
• M_p թվի ցանկացած բաժանարար պարզ p-ի համար ունի 2pk+1 տեսք, որտեղ k-ն բնական թիվ է (Ֆերմայի փոքր թեորեմի հետևանք)։
• Ամեն զույգ կատարյալ թիվ ունի $M_{p}(M_{p}+1)/2=2^{p-1}(2^{p}-1)$ տեսքը, որտեղ Մերսենի $M_{p}$ թիվը հանդիսանում է պարզ (ապացուցել է Էյլերը)։

Մերսենի պարզ թվերը

Մերսենի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսենի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են։
Մերսենի 45-րդ պարզ թիվը $M_{43112609}=2^{43112609}-1$ թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում $M_{43112609}=2^{43112609}-1$ թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում $M_{43112609}$-ի երկարությունը 12978189 թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերած GIMPS-ին 2009 թվին ստանալու տասը միլիոնից ոչ պակաս թվանշան պարունակող պարզ թիվ գտնելու համար Electronic Frontier Foundation-ի սահմանած 100 000 ԱՄՆ դոլար մրցանակը։

Ընդհանրացումներ

• Մերսենի կրկնակի թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ $MM_{n}=M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$.

Այսօրվա դրությամբ հայտնի են այդ տեսքի միայն չորս պարզ թիվ՝ n = 2, 3, 5, 7 դեպքում։

Բաց խնդիրներ

• Մերսենի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան։
• $M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1$ թվի պարզությունը։

Կիրառությունը

Գործնականում Մերսենի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականության կեղծ պատահական թվերի գեներատորներ կառուցելու համար։

Ուշագրավ փաստ

Փոքր մոլորակով թիվ 8191 աստերոիդի անունն ի պատիվ Մերին Միրսենի, դրել են (8191) Միրսեն, քանի որ 8191-ը Միրսենի պարզ թիվ է։(3 Յունոնան, 7 Իրիսը, 31 Եւփրոսինեն և 127 Հովհաննան հայտնաբերվել և անուններ են ստացել 19-րդ դարի ընթացքում։)