Մեկ փոփոխականի քառակուսային ֆունկցիա

Քառակուսային ֆունկցիա, երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ և ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։

ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հիմնական հատկություններԽմբագրել

Քառակուսային   ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են   գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները[1]:

Հատկություն    
Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ  
Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ    
Ֆունկցիայի զույգությունը Զույգ է   դեպքում, կենտ է   դեպքում
Ֆունկցիայի պարբերականությունը Ոչ պարբերական ֆունկցիա
Ֆունկցիայի անընդհատությունը Անընդհատ է, խզման կետեր չկան
Ֆունկցիայի զրոները  , եթե  իրական զրոներ չկան, եթե  
Ֆունկցիայի սահմանը   դեպքում   ,   դեպքում  ,   դեպքում
Ֆունկցիայի դիֆերենցելիություն Ամենուր բազմակի դիֆերենցելի է 
Էքստրեմումի կետերը (բացարջակ էքստրեմում)   (մինիմում)   (մաքսիմում)
Խիստ մոնոտոնության միջակայքերը նվազում է  աճում է   աճում է  նվազում է  
Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը Ամենուրեք գոգավոր ֆունկցիա Ամենուրեք ուռուցիկ ֆունկցիա
Ճկման կետ Ճկման կետերը բցակայում են
Ֆունկցիայի սահմանափակումները Սահմանափակ ներքևից Սահմանափակ վերևից
Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը Բացակայում է  
Ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը   Բացակայում է
Ֆունկցիայի դրական արժեքները    
Ֆունկցիայի բացասական արժեքները    

Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրաԽմբագրել

Քառակուսյին ֆունկցիայի գրառման ստանդարտ ձևԽմբագրել

 Խմբագրել

 ,   и   իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ: Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների:

a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Եթե  , ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում:

Եթե  , ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։

Եթե  , ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ:

Եթե  , ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։

a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա ։ Այն դեպքում, երբ   քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։

c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար): Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով: Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ,   գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր:

Ցանկացած   տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը   տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

 
 
 
 
 
 
 , где   и  

Ֆունկցիայի զրոներԽմբագրել

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում:

Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

Լրիվ դիսկրիմինանտ (որոշիչ) Կրճատ դիսկրիմինանտ Բերված դիսկրիմինանտ
     
     

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

  • Եթե  , ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
  • Եթե  , ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
  • Եթե  , ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
  • Օրինակ,   ֆունկցիայի համար՝
 .

Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական զրոներ։

Դրսևորումներ գործնականումԽմբագրել

Տես նաևԽմբագրել

  • Քառակուսային եռանդամ
  • Պարաբոլ

ԾանոթագրությունԽմբագրել

  1. Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М. : «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.

ԳրականությունԽմբագրել