Մաթեմատիկական նշաններ

Մաթեմատիկական նշաններ, հատուկ պայմանանշաններ, որոնք նախատեսված են մաթեմատիկական օբյեկտներ, հասկացություններ և առաջադրություններ գրառելու համար։ Օրինակ, ${\sqrt {2}}$ (քառակուսի արմատ երկուսից), $3>2$ (երեքը մեծ է երկուսից) և այլն։ Առաջին մաթեմատիկական նշաններն եղել են թվերի գրառման նշանները՝ թվանշանները, որոնք, հավանաբար, ավելի վաղ ծագում ունեն, քան գրերը։ Թվարկության առավել հին՝ բաբելոնական և եգիպտական համակարգերը ծագել են $3~~1/2$ հազարամյակ մ.թ.ա.։ Կամայական մեծությունների մաթեմատիկական նշաններ ստեղծվել են Հունաստանում բավական ուշ (սկսած 5-4-րդ դարեր մ.թ.ա.)։ Հանրահաշվական նշանագրությունը երևան է եկել 14-17-րդ դարեր։ Հանրահաշվական բանաձևերի ստեղծման գործում մեծ ավանդ ունեն Ֆրանսուա Վիետը և Ռենե Դեկարտը։ Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի նշանագրությունը ստեղծել է Գ. Լայբնիցը։ Ժամանակակից մաթեմատիկայի նշանագրության ստեղծման գործում մեծ դեր է խաղացել Լեոնարդ Էյլերը։

Որոշ մաթեմատիկական նշաների ստեղծման տարեթվերը և հեղինակները

Նշանը	Իմաստը	Ստեղծողը	Ստեղծաման տարեթիվը
$\infty$	անվերջություն	Ջ. Վալիս	1655
$e$	բնական լոգարիթմների հիմքը	Լ. Էյլեր	1736
$\pi$	շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին	Ու. Ջոնս	1706
$i$	քառակուսի արմատ $-1$-ից	Լ. Էյլեր	1777 (տպագրվել է 1794)
${\bar {i}},{\bar {j}},{\bar {k}}$	միավոր վեկտորներ	Ու. Համիլտոն	1853
$a,b,c$	հաստատուն կամ տրված մեծություններ	Ռ. Դեկարտ	1637
$x,y,z$	փոփոխական կամ անհայտ մեծություններ	Ռ. Դեկարտ	1637
$=$	հավասարություն	Ռ. Ռեկորդ	1557
$>$	մեծ է	Տ. Հարիոտ	1631
$<$	փոքր է	Տ. Հարիոտ	1631
$\equiv$	համեմատելիություն	Կ. Գաուս	1801
$\parallel$	զուգահեռություն	Ու. Օութրեդ	1677
$\perp$	ուղղահայացություն	Պ. Էրիգոն	1634
$+$	գումարում	գերմանացի մաթեմատիկոսներ	15-րդ դարի վերջ
$-$	հանում	գերմանացի մաթեմատիկոսներ	15-րդ դարի վերջ
$\times$	բազմապատկում	Ու. Օութրեդ	1631
$.$	բազմապատկում	Գ. Լայբնից	1698
$:$	բաժանում	Գ. Լայբնից	1684
$a,a^{2}...a^{n}$	աստիճաններ	Ռ. Դեկարտ,Ի. Նյուտոն	1637,1676
${\sqrt {2}},{\sqrt {3}}$	արմատներ	Ք. Ռուդոլֆ, Ա. Ժիրար	1525,1629
$\log$	լոգարիթմ	Յն. Կեպլեր, Բ. Կավալիեր	1624,1632
$\sin$	սինուս	Լ. Էյլեր	1748
$\cos$	կոսինուս	Լ. Էյլեր	1748
$\mathrm {tg}$	տանգենս	Լ. Էյլեր	1753
$\arcsin$	արկսինուս	Ժ. Լագրանժ	1772
$\mathrm {sh}$	հիպերբոլական սինուս	Վ. Ռիկատի	1757
$\mathrm {ch}$	հիպերբոլական կոսինուս	Վ. Ռիկատի	1757
$dx,d^{2}x,$	դիֆերենցյալ	Գ. Լայբնից	1675 (տպագրվել է 1684-ին)
$\int ydx$	ինտեգրալ	Գ. Լայբնից	1675 (տպագրվել է 1686-ին)
$d/dx$	ածանցյալ	Գ. Լայբնից	1675
$f_{x}^{'},y^{'},f^{'}(x)$	ածանցյալ	Ժ. Լագրանժ	1770,1779
$\varrho /\varrho x$	մասնական ածանցյալ	Ա. Լեժանդր	1786
$\bigtriangleup x$	տարբերություն	Լ. Էյլեր	1775
$\int _{a}^{b}f(x)dx$	որոշյալ ինտեգրալ	Ժ. Ֆուրին	1819-1922
$\sum$	գումար	Լ. Էյլեր	1775
$\prod$	արտադրյալ	Կ. Գաուս	1812
$!$	ֆակտորյալ	Կ. Կրամպ	1808
$|x|$	մոդուլ	Կ. Վայերշտրաս	1861
$\lim ,\lim n=\infty ,\lim n\rightarrow \infty$	սահման	Ս. Լյուիլյե, Ու. Համիլտոն, ուրիշ մաթեմատիկոսներ	1786,1853,20-րդ դարի սկիզբ
$\phi x,f(x)$	ֆունկցիա	Ի. Բեռնուլի,Լ. Էյլեր	1718,1734

Նշաններ (TeX)	Նշաններ (Յունիկոդ)	Անվանում	Նշանակություն	Օրինակ
		Արտասանություն
		Մաթեմատիկայի բաժին
$\Rightarrow$ (\Rightarrow) $\rightarrow$ (\rightarrow) $\supset$ (\supset)	⇒ → ⊃	Իմպլիկացիա, շարժում	$A\Rightarrow B$ նշանակում է «եթե $A$-ն ճիշտ է, ապա $B$-ն նույնպես ճիշտ է». (→ սա կարող է օգտագործվել ⇒ փոխարեն, կամ դրա նշանակությամբ ֆունկցիա, տես ներ.) (⊃ կարող է օգտագործվել ⇒ , կամ դրա նշանակությամբ ենթաբազմություն, տես ներ.) ։	$x=2\Rightarrow x^{2}=4$-ն ճիշտ է, բայց $x^{2}=4\Rightarrow x=2$-ը սխալ է ( քանի որ$x=-2$-ը նույնպես լուծում է )։
		«ազդում է» կամ «եթե․․․, ապա »
		ամենուրեք
$\Leftrightarrow$ (\Leftrightarrow)	⇔	Համարժեք	$A\Leftrightarrow B$ նշանակում է «$A$-ն ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ $B$-ն ճիշտ է»։	$x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y$
		«եթե և միայն եթե » կամ «համարժեք է»
		ամենուրեք
$\wedge$ (\wedge)	∧	Տրամաբանական բազմապատկում	$A\wedge B$-ն ճշմարիտ է միայն և միայն այն դեպքում, երբ $A$-ն և $B$-ն ճշմարիտ են։	$(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)$, եթե $n$ — բնական թիվ է։
		«և»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\vee$ (\vee)	∨	Տրամաբանական գումարում	$A\vee B$-ն ճշմարիտ է, եթե պայմաններից մեկը՝ $A$-ն կամ $B$-ն ճշմարիտ է։	$(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3$, եթե $n$ — բնական թիվ է։
		«կամ»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\neg$ (\neg)	¬	Ժխտում	$\neg A$-ն ճշմարիտ է միայն և միայն այն դեպքում, երբ կեղծ է $A$-ն։	$\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)$
		«ոչ»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\forall$ (\forall)	∀	Քվանտային ամբողջություն	$\forall x,P\left(x\right)$ նշանակում է «$P\left(x\right)$-ն ճիշտ է բոլոր $x$-ի համար »։	$\forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n$
		«Ցանկացածի համար», «Բոլորի համար», «Յուրաքանչյուրի համար»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\exists$ (\exists)	∃	Քվանտային գոյացություն	$\exists x,\;P\left(x\right)$ նշանակում է «գոյություն ունի գոնե մեկ $x$, որի դեպքում ճիշտ է$P\left(x\right)$-ն»։	$\exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n$ (համընկնում է 5 թիվը)
		«գոյություն»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$=$	=	Հավասարություն	$x=y$ նշանակում է «$x$-ը և $y$-ը ունեն նույն նշանակությունը»։	1 + 2 = 6 − 3
		«հավասար»
		ամենուրեք
$:=$ $:\Leftrightarrow$ (:\Leftrightarrow) ${\stackrel {\rm {def}}{=}}$ (\stackrel{\rm{def}}{=})	:= :⇔	Սահմանում	$x:=y$ նշանակում է «$x$ ըստ սահմանման հավասար է $y$-ին». $P:\Leftrightarrow Q$ նշանակում է «$P$ ըստ սահմանման հավասարազոր է $Q$-ին»	${\rm {ch}}\left(x\right):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ (սահմանում հիպերբոլիկկոսինուսը) $A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (սահմանման բացառումը «ԿԱՄ»)
		«հավասար/հավասարազոր է ըստ սահմանման»
		ամենուրեք
$\{,\}$	{ }	Տարրերի բազմություն	$\{a,\;b,\;c\}$ նշանակում է բազմություն, որի տարրերն են $a$-ն, $b$-ն և $c$-ն։	$\mathbb {N} =\{1,\;2,\;\ldots \}$ (շատ բնական թվեր)
		«Շատ…»
		Բազմությունների տեսություն
$\{|\}$	{|}	Տարրերի բազմություն, բավարար պայմանի դեպքում	$\{x\,|\,P\left(x\right)\}$ նշանակում է բազմության բոլոր $x$-ն այնպիսին են, որ ճիշտ է$P\left(x\right)$-ը։	$\{n\in \mathbb {N} \,|\,n^{2}<20\}=\{1,\;2,\;3,\;4\}$
		«Բոլոր բազմությունը… այնպիսին է, որ ճիշտ է…»
		Բազմությունների տեսություն
$\varnothing$ (\varnothing) $\{\}$	∅ {}	Դատարկ բազմություն	$\{\}$ և $\varnothing$ նշանակում է, որ բազմությունը ոչ մի տարր չի պարունակում։	$\{n\in \mathbb {N} \,|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing$
		«Դատարկ բազմություն»
		Բազմությունների տեսություն
$\in$ (\in) $\notin$ (\notin)	∈ ∉	Պատկանում է/չի պատկանում բազմությանը	$a\in S$ նշանակում է «$a$ տարրը պատկանում է $S$ բազմությանը» $a\notin S$նշանակում է «$a$ տարրը չի պատկանում $S$ բազմությանը»։	$2\in \mathbb {N}$ ${1 \over 2}\notin \mathbb {N}$
		«պատկանում», «ից» «չի պատկանում»
		Բազմությունների տեսություն
$\subseteq$ (\subseteq) $\subset$ (\subset)	⊆ ⊂	Ենթաբազմություն	$A\subseteq B$ նշանակում է «$A$ բազմության յուրաքանչյուր տարր նույնպես $B$ բազմության տարր է»։ $A\subset B$ սովորաբար նշանակում է այն, ինչ $A\subseteq B$: Սակայն որոշ հեղինակներ օգտագործել են$\subset$տարբերակը, որպեսզի ցույց տան խիստ ներառումը (որնէ$\subsetneq$):	$(A\cap B)\subseteq A$ $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$
		«ենթաբազմությունը պարունակում է», «ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\supseteq$ (\supseteq) $\supset$ (\supset)	⊇ ⊃	Ենթաբազմություն	$A\supseteq B$ նշանակում է «$B$ բազմության յուրաքանչյուր տարր նույնպես $A$ բազմության տարր է»։ $A\supset B$ սովորաբար նշանակում է այն, ինչ $A\supseteq B$: Սակայն որոշ հեղինակներ օգտագործել են $\supset$, տարբերակը, որպեսզի ցույց տան խիստ ներառումը (որնէ$\supsetneq$):	$(A\cup B)\supseteq A$ $\mathbb {R} \supseteq \mathbb {Q}$
		«Ենթաբազմությունը պարունակում է», «ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\subsetneq$ (\subsetneq)	⊊	Սեփական ենթաբազմություն	$A\subsetneq B$ նշանակում է $A\subseteq B$ և $A\neq B$:	$\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q}$
		«սեփական ենթաբազմությունը պարունակում է», «խստորեն ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\supsetneq$ (\supsetneq)	⊋	Սեփական ենթաբազմություն	$A\supsetneq B$ նշանակում է $A\supseteq B$ և $A\neq B$:	$\mathbb {Q} \supsetneq \mathbb {N}$
		«սեփական ենթաբազմությունը ներառում է», «խստորեն ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\cup$ (\cup)	∪	Միավորում	$A\cup B$ նշանակում է, որ բազմաթիվ տարրեր պատկանում են $A$-ին կամ $B$-ին։	$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
		«Միավորում … և …», «…, համախմբված է …»
		Բազմությունների տեսություն
$\cap$ (\cap)	⋂	Հատում	$A\cap B$ նշանակում է, որ բազմաթիվ միանման տարրեր պատկանում են և $A$-ին, և $B$-ին։	$\{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$
		"հատում … և … ", «…, հատվում է …»
		Բազմությունների տեսություն
$\setminus$ (\setminus)	\	Տարբեր բազմություններ	$A\setminus B$ նշանակում է բազմաթիվ տարրեր պատկանում են $A$-ին, բայց չեն պատկլանում $B$-ին։	$\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}$
		«տարբեր … և …», «հանում», «… առանց …»
		Բազմությունների տեսություն
$\mathbb {N}$ (\mathbbN)	N կամ ℕ	Բնական թիվ	$\mathbb {N}$ նշանակում է բազմաթիվ$\{1,\;2,\;3,\;\ldots \}$կամ հազվադեպ$\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$ (կախված իրավիճակից)։	$\{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {N}$
		«Էն»
		Թվեր
$\mathbb {Z}$ (\mathbb Z)	Z կամ ℤ	Ամբողջ թվեր	$\mathbb {Z}$ նշանակում է$\{\ldots ,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$	$\{a,\;-a\,|\,a\in \mathbb {N} \}\cup \{0\}=\mathbb {Z}$
		«Զեթ»
		Թվեր
$\mathbb {Q}$ (\mathbb Q)	Q կամ ℚ	Ռացիոնալ թվեր	$\mathbb {Q}$ նշանակում է $\left\{\left.{p \over q}\right|p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {N} \wedge q\neq 0\right\}$	$3,\!14\in \mathbb {Q}$ $\pi \notin \mathbb {Q}$
		«Քու» կամ «Քյու»
		Թվեր
$\mathbb {R}$ (\mathbb R)	R կամ ℝ	Իրական թվեր	$\mathbb {R}$ նշանակում է ամբողջ բազմությունը սահմանաչափերը հաջորդականությունից $\mathbb {Q}$	$\pi \in \mathbb {R}$ $i\notin \mathbb {R}$ ($i$ — թվացյալ միավորը։ $i^{2}=-1$)
		«Էռ»
		Թվեր
$\mathbb {C}$ (\mathbb C)	C կամ ℂ	Կոմպլեքս թվեր	$\mathbb {C}$ նշանակում է $\{a+b\cdot i\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \}$	$i\in \mathbb {C}$
		«Ցէ»
		Թվեր
$\mathbb {H}$ (\mathbb H)	H կամ $\mathbb {H}$	Քվատերնիոններ	$\mathbb {H}$ նշանակում է $\{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \wedge c\in \mathbb {R} \wedge d\in \mathbb {R} \}$	$i\in \mathbb {H}$
		«Հաշ»
		Թվեր
$<$ $>$	< >	Համեմատություն	$x<y$ նշանակում է, որ $x$ խիստ մեծ է $y$-ից։ $x>y$ նշանակում է, որ $x$խիստ մեծ է $y$-ից։	$x<y\Leftrightarrow y>x$
		«ավելի քիչ քան», «ավելի շատ քան»
		Կարգի հարաբերություն
$\leqslant$  կամ  $\leq$ (\leqslant կամ \leq) $\geqslant$  կամ  $\geq$ (\geqslant или \geq)	⩽կամ ≤ ⩾ կամ ≥	Համեմատություն	$x\leqslant y$ նշանակում է, որ $x$-ը փոքր կամ հավասար է $y$-ին։ $x\geqslant y$ նշանակում է, որ $x$-ը մեծ կամ հավասար է $y$-ին։	$x\geqslant 1\Rightarrow x^{2}\geqslant x$
		«փոքր կամ հավասար է»; «մեծ կամ հավասար է»
		Կարգի հարաբերություն
$\approx$ (\approx)	≈	Մոտավոր հավասարություն	$e\approx 2,\!718$-ը ճշգրիտ է մինչև 10−3 նշանակում է, որ 2,718-ը $e$-ը տարբերվում է ոչ ավելի քան 10−3-ը.	$\pi \approx 3,\!1415926$ ճշգրիտ է մինչև 10−7.
		«մոտավորապես հավասար»
		Թվեր
${\sqrt {}}$ (\sqrt{})	√	Թվաբանական քառակուսի արմատ	${\sqrt {x}}$ նշանակում է, այն իրական, ոչ բացասական թիվը, որը քառակուսի է տալիս $x$:	${\sqrt {4}}=2$ ${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|$
		«Քառակուսի արմատից …»
		Թվեր
$\infty$ (\infty)	∞	Անվերջություն	Այս նշանները ցույց են տալիս մեծ/փոքր բոլոր իրական թվերը։	$\lim \limits _{x\to 0}{1 \over \left|x\right|}=\infty$
		«Պլյուս/մինուս անվերջություն»
		Թվեր
$\left|\;\right|$ (\left| \right|)	| |	Բացարձակ արժեք (Բացարձակարժեք, մոդուլ) թվեր	$\left|x\right|$նշանակում է$x$-ի բացարձակ արժեքը։	$\left|a+b\ i\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
		«Մոդուլ»
		Թվեր և Բազմությունների տեսություն
$\sum$ (\sum)	∑	Գումար (թվերի հավաքածու), գումար շարքեր	$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$նշանակում է «գումար $a_{k}$, որտեղ $k$-ի п արժեքները հասնում են 1-ից մինչև$n$», ինչպես $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ նշանակում է գումարի շարքը կազմված է $a_{k}$-ից։	$\sum _{k=1}^{4}k^{2}=$ $=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}$ $=30$
		«Գումար … վրա … ից … մինչև …»
		Թվաբանություն, Մաթեմատիկական անալիզ
$\prod$ (\prod)	∏	Արդյունք	$\prod _{k=1}^{n}a_{k}$նշանակում է « $a_{k}$ արդյունքւմ բոլոր $k$-երի առժեքները հասնում են 1-ից մինչև $n$», ինչպես $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$	$\prod _{k=1}^{4}(k+2)=$ $=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Արդյունք … վրա … ից … մինչև …»
		Թվաբանություն
$!$	!	Ֆակտորիալ	$n!$ նշանակում է բոլոր բնական թվերը 1-ից մինչև $n$-ը ներառյալ, ինչպես $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$	$n!=\prod _{k=1}^{n}k=(n-1)!n$ $0!=1$ $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$
		«$n$ ֆակտորիալ»
		Կոմբինատորիկա

Գրականություն

• Տարրական մաթեմատիկայի ուղղեցույց. Մարկ Վիգոդսկի։ Հրատարակություն. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6:

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 140)։

Արտաքին հղումներ

• «Арифметические знаки». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)