Վիքիպեդիա

Մերսենի պարզ թվերի և կատարյալ թվերի ցանկ

Վիքիմեդիայի նախագծի ցանկ
(Վերահղված է Կատարյալ թվերի ցանկից)

Թվերի տեսությունում Մերսենի պարզ թվերը և կատարյալ թվերը սերտորեն կապված բնական թվերի տեսակներ են։ Մերսենի պարզ թվերը (կոչվել են ի պատիվ Մաին Մերսենի) 2p − 1 տեսքի պարզ թվեր են, որտեղ p-ն որևէ դրական ամբողջ թիվ է։ Օրինակ, 3-ը Մերսենի պարզ թիվ է, քանի որ այն պարզ թիվ է և կարելի է ներկայացնել 22 − 1 տեսքով[1][2]։ Մերսենի պարզ թվերին համապատասխանող p թվերը պարզ են, սակայն գոյություն ունեն պարզ p թվեր, որոնք Մերսենի պարզ թվի չեն հանգեցնում, օրինակ՝ 211 − 1 = 2047 = 23 × 89[3]։ Կատարյալ թվերը բնական թվեր են, որոնք հավասար են իրենց դրական բաժանարարների գումարին՝ չհաշված տրված թիվը։ Այսպիսով, 6-ը կատարյալ թիվ է, քանի որ դրա բաժանարարներն են 1, 2 և 3՝ չհաշված 6-ը, և 1 + 2 + 3 = 6[2][4]։

Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6
6 կատարյալ թվի վիզուալիզացիա
A graph plotting years on the x-axis with the number of digits of the largest known prime logarithmically on the y-axis, with two trendlines
Հայտի ամենամեծ պարզ թվի թվանշանների լոգարիթմական գրաֆիկ ըստ տարեթվի։ Գրեթե բոլորը Մերսենի պարզ թվեր են։

Մերսենի պարզ թվերի և զույգ կատարյալ թվերի միջև գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Սա Էվկլիդես-Էյլերի թեորեմի ուղղակի հետևանք է, որը մասամբ ապացուցել է Էվկլիդեսը, իսկ հետագայում ամբողջությամբ՝ Լեոնարդ Էյլերը։ Ըստ թեորեմի՝ զույգ թվերը կատարյալ են այն և միայն այն դեպքում, երբ դրանց կարելի է ներկայացնել 2p − 1 × (2p − 1) տեսքով, որտեղ 2p − 1-ը Մերսենի պարզ թիվ է։ Այլ կերպ ասած, այս պահանջին բավարարող բոլոր թվերը կատարյալ են, և բոլոր զույգ կատարյալ թվերը բավարարում են այս պահանջին։ Օրինակ, p = 2 դեպքում 22 − 1 = 3-ը պարզ է, և 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6-ը կատարալ է[1][5][6]։

Հայտնի չէ, թե արդյոք գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ Մերսենի պարզ թվեր կամ զույգ կատարյալ թվեր[2][6]։ Ըստ Լենստրա-Պոմերանս-Վագստաֆի ենթադրության՝ տրված x թվից փոքր Մենսենի պարզ թվերի սպասված քանակը հավասար է (eγ / log 2) × log log x, որտեղ e-ն Էյլերի թիվն է, γ-ը՝ Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունը, իսկ log-ը՝ բնական լոգարիթմը[7][8][9]։ Հայտնի չէ, թե արդյոք կենտ կատարյալ թիվ գոյություն ունի, չնայած հնարավոր կենտ կատարյալ թվի վերաբերյալ բազմաթիվ պայմաններ են ապացուցվել, այդ թվում 101500 ստորին սահմանը[10]։

Այս ցանկում ներառված են այժմ հայտնի բոլոր Մերսենի պարզ թվերն ու կատարյալ թվերը, ինչպես նաև դրանց համապատասխանող p ցուցիչը։ 2023 թվականի դրությամբ հայտնի է 51 Մերսենի պարզ թիվ (և հետևաբար կատարյալ թիվ), որոնցից մեծագույն 17-ը հայտնաբերվել են «Մերսենի պարզ թվերի մեծ համացանցային որոնում» (անգլ.՝ Great Internet Mersenne Prime Search, անգլ.՝ GIMPS) նախագծի շնորհիվ[2]։ Նոր Մերսենի պարզ թվերը հայտնաբերվում են Լուկաս-Լեհմեր թեստի միջոցով (ԼԼԹ)[2]։

Համարը նշված է ըստ այժմ հայտնի տվյալների (2022 թվականի դրությամբ), սակայն հնարավոր է, որ հետագայում հայտնաբերվեն ավելի փոքր Մերսենի պարզ թվեր։ Ըստ GIMPS-ի՝ 2024 թվականի ապրիլի դրությամբ p = 67,279,841-ից փոքր բոլոր ցուցիչները ստուգվել և վավերացվել են[11]։ Ցանկում նշված է Մերսենի պարզ թվերի հայտնաբերման թվականն ու հայտնաբերողը, քանի որ կատարյալ թվերը կարելի է ստանալ Մերսենի պարզ թվերից (Էվկլիդես-Էյլերի թեորեմից)։ «GIMPS / անուն»-ով նշված թվերը հայտնաբերվել են GIMPS նախագծի շրջանակում՝ նշված անձի համակարգչով։ Վերջին թվերը չափազանց երկար են, այդ պատճառով նշված է միայն առաջին և վերջին վեց թվանշանները։

Հայտնի 51 Մերսենի պարզ թվերի և համապատասխան կատարյալ թվերի ցանկ
Համար p Մերսենի պարզ թիվ Մերսենի պարզ թիվի նիշերի քանակ Կատարյալ թիվ Կատարյալ թվի նիշերի քանակ Հայտնաբերվել է Հայտնաբերող Հայնաբերման մեթոդ Ծան.[12]
1 2 Երեք 1 Վեց 1 Հնագույն ժամանակներ[Ն 1] Հայտնի էր հին հույն մաթեմատիկոսներին Հայտնի չէ [13][14][15]
2 3 Յոթ 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 Մոտ 1456[Ն 2] Անանուն[Ն 3] Հերթով բաժանում [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588 (1588)[Ն 2] Պետրո Կատալդի [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 (1772) Լեոնարդ Էյլեր Հերթով բաժանումով (մոդուլային սահմանափակումներով) [19][20]
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 Նոյեմբերի 1883 (Նոյեմբերի 1883) Իվան Պերվուշին Լուկասի հաջորդականություն [21]
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 Հունիսի 1911 (Հունիսի 1911) Ռալֆ Էռնեստ Փաուերս [22]
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 Հունիսի 1, 1914 (Հունիսի 1, 1914) [23]
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 Հունվարի 10, 1876 (Հունվարի 10, 1876) Էդուարդ Լուկաս [24]
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 Հունվարի 30, 1952 (Հունվարի 30, 1952) Ռաֆայել Մ. Ռոբինսոն ԼԼԹ, SWAC-ով [25]
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [25]
15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770 Հունիսի 25, 1952 (Հունիսի 25, 1952) [26]
16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327 Հոկտեմբերի 7, 1952 (Հոկտեմբերի 7, 1952) [27]
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373 Հոկտեմբերի 9, 1952 (Հոկտեմբերի 9, 1952) [27]
18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937 Սեպտեմբերի 8, 1957 (Սեպտեմբերի 8, 1957) Հանս Ռիզել ԼԼԹ, BESK-ով [28]
19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561 Նոյեմբերի 3, 1961 (Նոյեմբերի 3, 1961) Ալեքսանդր Հուրվից ԼԼԹ, IBM 7090-ով [29]
20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663 [29]
21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834 Մայիսի 11, 1963 (Մայիսի 11, 1963) Դոնալդ Բ. Գիլլիս ԼԼԹ, ILLIAC II-ով [30]
22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985 Մայիսի 16, 1963 (Մայիսի 16, 1963) [30]
23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751 Հունիսի 2, 1963 (Հունիսի 2, 1963) [30]
24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003 Մարտի 4, 1971 (Մարտի 4, 1971) Բրայանթ Թաքերման ԼԼԹ, IBM 360/91-ով [31]
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066 Հոկտեմբերի 30, 1978 (Հոկտեմբերի 30, 1978) Լենդոն Կուրտ Նոլլ և Լաուրա Նիկել ԼԼԹ, CDC Cyber 174-ով [32]
26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973 Փետրվարի 9, 1979 (Փետրվարի 9, 1979) Լենդոն Կուրտ Նոլլ [32]
27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790 Ապրիլի 8, 1979 (Ապրիլի 8, 1979) Հարրի Լ. Նելսոն և Դեյվիդ Սլովինսկի ԼԼԹ, Cray-1-ով [33][34]
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924 Սեպտեմբերի 25, 1982 (Սեպտեմբերի 25, 1982) Դեյվիդ Սլովինսկի [35]
29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530 Հունվարի 29, 1988 (Հունվարի 29, 1988) Walter Colquitt & Luke Welsh ԼԼԹ, NEC SX-2-ով [36][37]
30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502 Սեպտեմբերի 19, 1983 (Սեպտեմբերի 19, 1983) Դեյվիդ Սլովինսկի և ուրիշներ ԼԼԹ, Cray X-MP-ով [38]
31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100 Սեպտեմբերի 1, 1985 (Սեպտեմբերի 1, 1985) ԼԼԹ, Cray X-MP/24-ով [39][40]
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663 Փետրվարի 17, 1992 (Փետրվարի 17, 1992) ԼԼԹ, Harwell Lab-ի Cray-2-ով [41]
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430 Հունվարի 4, 1994 (Հունվարի 4, 1994) ԼԼԹ, Cray C90-ով [42]
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263 Սեպտեմբերի 3, 1996 (Սեպտեմբերի 3, 1996) ԼԼԹ, Cray T94-ով [43][44]
35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842 Նոյեմբերի 13, 1996 (Նոյեմբերի 13, 1996) GIMPS / Ջոել Արմենգաուդ ԼԼԹ / Prime95, 90 MHz Intel pentium անձնական համակարգչով [45]
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864 Օգոստոսի 24, 1997 (Օգոստոսի 24, 1997) GIMPS / Գորդոն Սփենս ԼԼԹ / Prime95, 100 MHz Pentium պրոցեսորով անձնական համակարգչով [46]
37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050 Հունվարի 27, 1998 (Հունվարի 27, 1998) GIMPS / Ռոլանդ Քլարկսոն ԼԼԹ / Prime95, 200 MHz Pentium անձնական համակարգչով [47]
38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919 Հունիսի 1, 1999 (Հունիսի 1, 1999) GIMPS / Նայան Հաջրաթվալա ԼԼԹ / Prime95, IBM Aptiva-ով (350 MHz Pentium II պրոցեսոր) [48]
39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892 Նոյեմբերի 14, 2001 (Նոյեմբերի 14, 2001) GIMPS / Մայքլ Քեմերոն ԼԼԹ / Prime95, 800 MHz Athlon T-Bird պրոցեսրով անձնական համակարգչով [49]
40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858 Նոյեմբերի 17, 2003 (Նոյեմբերի 17, 2003) GIMPS / Մայքլ Շաֆեր ԼԼԹ / Prime95, Dell Dimension անձնական համակարգչով (2 GHz Pentium 4 պրոցեսոր) [50]
41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465 Մայիսի 15, 2004 (Մայիսի 15, 2004) GIMPS / Ջոշ Ֆինդլի ԼԼԹ / Prime95, 2.4 GHz Pentium 4 պրոցեսորով անձնական համակարգչով [51]
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458 Փետրվարի 18, 2005 (Փետրվարի 18, 2005) GIMPS / Մարտին Նովակ [52]
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103 Դեկտեմբերի 15, 2005 (Դեկտեմբերի 15, 2005) GIMPS / Կուրտիս Կուպեր և Սթիվեն Բուն ԼԼԹ / Prime95, Կենտրոնական Միսսուրիի համալսարանում անձնական համակարգչով [53]
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714 Սեպտեմբերի 4, 2006 (Սեպտեմբերի 4, 2006) [54]
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543 Սեպտեմբերի 6, 2008 (Սեպտեմբերի 6, 2008) GIMPS / Հանս-Մայքլ Էլվենիչ ԼԼԹ / Prime95, անձնական համակարգչով [55]
46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127 Հունիսի 4, 2009 (Հունիսի 4, 2009)[Ն 4] GIMPS / Օդ Մագնար Ստրինդմո ԼԼԹ / Prime95, 3 GHz Intel Core 2 պրոցեսորով անձնական համակարգչով [56]
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377 Օգոստոսի 23, 2008 (Օգոստոսի 23, 2008) GIMPS / Էդսոն Սմիթ ԼԼԹ / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor [55][57][58]
48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340 Հունվարի 25, 2013 (Հունվարի 25, 2013) GIMPS / Կուրտիս Կուպեր ԼԼԹ / Prime95, Կենտրոնական Միսսուրիի համալսարանում անձնական համակարգչով [59][60]
* 67,242,060 Ամենափոքր չվավերացված թիվը[Ն 5]
49[Ն 6] 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235 Հունվարի 7, 2016 (Հունվարի 7, 2016)[Ն 7] GIMPS / Կուրտիս Կուպեր ԼԼԹ / Prime95, Intel core i7-4790 պրոցեսորով անձնական համակարգչով [61][62]
50[Ն 6] 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850 Դեկտեմբերի 26, 2017 (Դեկտեմբերի 26, 2017) GIMPS / Ջոնաթան Փեյս ԼԼԹ / Prime95, Intel Core i5-6600 պրոցեսորով անձնական համակարգչով [63][64]
51[Ն 6] 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095 Դեկտեմբերի 7, 2018 (Դեկտեմբերի 7, 2018) GIMPS / Պատրիկ Լարոշ ԼԼԹ / Prime95, Intel Core i5-4590T պրոցեսորով անձնական համակարգչով [65][66]
* 115,388,888 Ամենափոքր չստուգված թիվը[Ն 5]

Պատմականորեն մեծագույն հայտնի պարզ թիվը հաճախ եղել է Մերսենի պարզ թիվ։

Նշումներ

խմբագրել
  1. ↑ Առաջին չորս կատարյալ թվերը հայտնի էին Նիկոմաքոսին, իսկ հասկացությունը (համապատասխան Մենսենի պարզ թվերի հետ) հայտնի էր Էվկլիդեսին «Սկզբունքներ» աշխատությունը գրելու ժամանակ։ Սակայն, հայտնաբերման վերաբերյալ տվյալներ չկան։
  2. ↑ 2,0 2,1 Իսլամական մաթեմատիկոսներին, ինչպես օրինակ Իսմայիլ իբն Իբրահիմ իբն Ֆալուսը (1194–1239), հավանաբար հայտնի էին հինգերորդից մինչև յոթերորդ կատարյալ թվերը նախքան դրանց Եվրոպական աղբյուրներում հայտնվելը[16]։
  3. ↑ Նշված է անանուն ձեռագրում (Codex latinus monacensis, 1456 և 1461 թվականներ)[14][17]
  4. ↑ M42,643,801-ը GIMPS-ին առաջին անգամ հաղորդվել է 2009 թվականի ապրիլի 12-ին, սակայն սերվերի սխալի պատճառով չի նկատվել մինչև 2009 թվականի հունիսի 4։
  5. ↑ 5,0 5,1 2024 թվականի մարտի 10-ի դրությամբ[11]։
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 Չի վավերացվել, թե արդյոք 48-րդ (M57,885,161) և 51-րդ (M82,589,933) թվերի միջև չհայտնաբերված Մենսենի պարզ թիվ գոյություն ունի, հետևաբար համարակալումը ժամանակավոր է։
  7. ↑ M74,207,281-ը GIMPS-ին առաջին անգամ հաղորդվել է 2015 թվականի սեպտեմբերի 17-ին, սակայն սերվերի սխալի պատճառով չի նկատվել մինչև 2016 թվականի հունվարի 7։

Ծանոթագրություններ

խմբագրել
  1. ↑ 1,0 1,1 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Science+Business Media. էջ 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Caldwell, Chris K. «Mersenne Primes: History, Theorems and Lists». PrimePages. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 4-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 4-ին.
  3. ↑ Caldwell, Chris K. «If 2n-1 is prime, then so is n». PrimePages. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 12-ին.
  4. ↑ Prielipp, Robert W. (1970). «Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers». The Mathematics Teacher. 63 (8): 692–96. doi:10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR 27958492. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին – via JSTOR.
  5. ↑ Caldwell, Chris K. «Characterizing all even perfect numbers». PrimePages. Արխիվացված օրիգինալից 2014 թ․ հոկտեմբերի 8-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 12-ին.
  6. ↑ 6,0 6,1 Crilly, Tony (2007). «Perfect numbers». 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. ISBN 978-1-84724-008-8. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  7. ↑ Caldwell, Chris K. «Heuristics Model for the Distribution of Mersennes». PrimePages. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  8. ↑ Wagstaff, Samuel S. (1983 թ․ հունվար). «Divisors of Mersenne numbers». Mathematics of Computation (անգլերեն). 40 (161): 385–397. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. ISSN 0025-5718.
  9. ↑ Pomerance, Carl (1981 թ․ սեպտեմբեր). «Recent developments in primality testing» (PDF). The Mathematical Intelligencer (անգլերեն). 3 (3): 97–105. doi:10.1007/BF03022861. ISSN 0343-6993. S2CID 121750836.
  10. ↑ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012 թ․ հունվարի 30). «Odd perfect numbers are greater than 101500». Mathematics of Computation (անգլերեն). 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718.
  11. ↑ 11,0 11,1 «GIMPS Milestones Report». Great Internet Mersenne Prime Search. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2024 թ․ հունվարի 31-ին.
  12. ↑ Sources applying to almost all entries:
  13. ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 Joyce, David E. «Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36». mathcs.clarku.edu. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հունիսի 17-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 Dickson, Leonard Eugene (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. էջեր 4–6.
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics: Volume II. Dover. էջ 21. ISBN 978-0-486-20430-7.
  16. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Perfect numbers». MacTutor History of Mathematics archive. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  17. ↑ «'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'». Bavarian State Library. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  18. ↑ 18,0 18,1 Cataldi, Pietro Antonio (1603). Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo [Pietro Antonio Cataldi's treatise on perfect numbers] (իտալերեն). Presso di Heredi di Giouanni Rossi.
  19. ↑ Caldwell, Chris K. «Modular restrictions on Mersenne divisors». PrimePages. Վերցված է 2021 թ․ նոյեմբերի 22-ին.
  20. ↑ Euler, Leonhard (1772). «Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318» [Extract of a letter from Mr. Euler to Mr. Bernoulli, concerning the Mémoire published among those of 1771]. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des sciences de Berlin (ֆրանսերեն). 1772: 35–36. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ օգոստոսի 15-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին – via Euler Archive.
  21. ↑ «Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine» [On a new prime number, announced by Pervouchine]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (ֆրանսերեն). 31: 532–533. 1887 թ․ հունվարի 27. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին – via Biodiversity Heritage Library.
  22. ↑ Powers, R. E. (1911 թ․ նոյեմբեր). «The Tenth Perfect Number». The American Mathematical Monthly. 18 (11): 195–197. doi:10.2307/2972574. JSTOR 2972574.
  23. ↑ «Records of Proceedings at Meetings». Proceedings of the London Mathematical Society. s2-13 (1): iv–xl. 1914. doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
  24. ↑ Lucas, Édouard (1876). «Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers» [Note on the application of recurrent series to researching the law of prime number distribution]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (ֆրանսերեն). 82: 165–167. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  25. ↑ 25,0 25,1 «Notes». Mathematics of Computation (անգլերեն). 6 (37): 58–61. 1952 թ․ հունվար. doi:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. ISSN 0025-5718. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  26. ↑ «Notes». Mathematics of Computation (անգլերեն). 6 (39): 204–205. 1952 թ․ հուլիս. doi:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. ISSN 0025-5718.
  27. ↑ 27,0 27,1 «Notes». Mathematics of Computation (անգլերեն). 7 (41): 67–72. 1953 թ․ հունվար. doi:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. ISSN 0025-5718.
  28. ↑ Riesel, Hans (1958 թ․ հունվար). «A New Mersenne Prime». Mathematics of Computation. 12 (61): 60. doi:10.1090/S0025-5718-58-99282-2.
  29. ↑ 29,0 29,1 Hurwitz, Alexander (1962 թ․ ապրիլ). «New Mersenne primes». Mathematics of Computation (անգլերեն). 16 (78): 249–251. doi:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. ISSN 0025-5718.
  30. ↑ 30,0 30,1 30,2 Gillies, Donald B. (1964 թ․ հունվար). «Three new Mersenne primes and a statistical theory». Mathematics of Computation. 18 (85): 93–97. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6. JSTOR 2003409.
  31. ↑ Tuckerman, Bryant (1971 թ․ հոկտեմբեր). «The 24th Mersenne Prime». Proceedings of the National Academy of Sciences. 68 (10): 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. doi:10.1073/pnas.68.10.2319. PMC 389411. PMID 16591945.
  32. ↑ 32,0 32,1 Noll, Landon Curt; Nickel, Laura (1980 թ․ հոկտեմբեր). «The 25th and 26th Mersenne primes». Mathematics of Computation. 35 (152): 1387. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4. JSTOR 2006405.
  33. ↑ Slowinski, David (1978). «Searching for the 27th Mersenne prime». Journal of Recreational Mathematics. 11 (4): 258–261.
  34. ↑ «Science Watch: A New Prime Number». Նյու Յորք Թայմս. 1979 թ․ հունիսի 5. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  35. ↑ «Announcements». The Mathematical Intelligencer (անգլերեն). 5 (1): 60. 1983 թ․ մարտ. doi:10.1007/BF03023507. ISSN 0343-6993.
  36. ↑ Peterson, I. (1988 թ․ փետրվարի 6). «Priming for a Lucky Strike». Science News. 133 (6): 85. doi:10.2307/3972461. JSTOR 3972461.
  37. ↑ Colquitt, W. N.; Welsh, L. (1991 թ․ ապրիլ). «A new Mersenne prime». Mathematics of Computation. 56 (194): 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9. JSTOR 2008415.
  38. ↑ «Number is largest prime found yet». The Globe and Mail. 1983 թ․ սեպտեմբերի 24. ProQuest 386439660 – via ProQuest.
  39. ↑ Peterson, I. (1985 թ․ սեպտեմբերի 28). «Prime Time for Supercomputers». Science News. 128 (13): 199. doi:10.2307/3970245. JSTOR 3970245.
  40. ↑ Dembart, Lee (1985 թ․ սեպտեմբերի 17). «Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number». Լոս Անջելես Թայմս (ամերիկյան անգլերեն). Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  41. ↑ Maddox, John (1992 թ․ մարտի 26). «The endless search for primality». Nature (անգլերեն). 356 (6367): 283. Bibcode:1992Natur.356..283M. doi:10.1038/356283a0. ISSN 1476-4687. S2CID 4327045.
  42. ↑ «Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer». PR Newswire. 1994 թ․ հունվարի 10 – via Gale.
  43. ↑ Caldwell, Chris K. «A Prime of Record Size! 21257787-1». PrimePages. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  44. ↑ Gillmor, Dan (1996 թ․ սեպտեմբերի 3). «Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery». Knight Ridder – via Gale.
  45. ↑ «GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 1996 թ․ նոյեմբերի 12. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  46. ↑ «GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 1997 թ․ սեպտեմբերի 1. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  47. ↑ «GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 1998 թ․ փետրվարի 2. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  48. ↑ «GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 1999 թ․ հունիսի 30. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  49. ↑ «GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2001 թ․ դեկտեմբերի 6. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  50. ↑ «GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2003 թ․ փետրվարի 2. Արխիվացված օրիգինալից 2020 թ․ հունիսի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  51. ↑ «GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2004 թ․ մայիսի 28. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հունվարի 29-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  52. ↑ «GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2005 թ․ փետրվարի 27. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ մարտի 14-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  53. ↑ «GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2005 թ․ դեկտեմբերի 24. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ մարտի 14-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  54. ↑ «GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2006 թ․ սեպտեմբերի 11. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հունվարի 26-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  55. ↑ 55,0 55,1 «GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2008 թ․ սեպտեմբերի 15. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 5-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  56. ↑ «GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2009 թ․ ապրիլի 12. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ փետրվարի 19-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  57. ↑ Maugh, Thomas H. (2008 թ․ սեպտեմբերի 27). «Rare prime number found». Լոս Անջելես Թայմս. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հուլիսի 27-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  58. ↑ Smith, Edson. «The UCLA Mersenne Prime». UCLA Mathematics. Արխիվացված է օրիգինալից 2021 թ․ նոյեմբերի 22-ին. Վերցված է 2021 թ․ նոյեմբերի 22-ին.
  59. ↑ «GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime». Great Internet Mersenne Prime Search. 2013 թ․ փետրվարի 5. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հունվարի 26-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  60. ↑ Yirka, Bob (2013 թ․ փետրվարի 6). «University professor discovers largest prime number to date». phys.org (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հունվարի 16-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  61. ↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1». Great Internet Mersenne Prime Search. 2016 թ․ հունվարի 19. Արխիվացված օրիգինալից 2018 թ․ հունվարի 7-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  62. ↑ «Largest known prime number discovered in Missouri». BBC News (բրիտանական անգլերեն). 2016 թ․ հունվարի 20. Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ օգոստոսի 21-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  63. ↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1». Great Internet Mersenne Prime Search. 2018 թ․ հունվարի 3. Արխիվացված օրիգինալից 2018 թ․ հունվարի 4-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  64. ↑ Lamb, Evelyn (2018 թ․ հունվարի 4). «Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long». Slate Magazine (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հոկտեմբերի 9-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  65. ↑ «GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1». Great Internet Mersenne Prime Search. 2018 թ․ դեկտեմբերի 21. Արխիվացված օրիգինալից 2018 թ․ դեկտեմբերի 22-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.
  66. ↑ Palca, Joe (2018 թ․ դեկտեմբերի 21). «The World Has A New Largest-Known Prime Number». NPR (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2021 թ․ հուլիսի 30-ին. Վերցված է 2021 թ․ հոկտեմբերի 13-ին.

Արտաքին հղումներ

խմբագրել
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Մերսենի_պարզ_թվերի_և_կատարյալ_թվերի_ցանկ&oldid=9722762» էջից