Թվային հաջորդականություն

Թվային հաջորդականություն, թվային տարրերի հաջորդականություն, մաթեմատիկական անալիզի հիմնական դիտարկման առարկա։

Թվային հաջորդականություն

Սահմանում

Օբյեկտների կարգավորված ցանցը կոչվում է հաջորդականություն։

Եղանակներ

Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ։

Հաջորդականության տրման անալիտիկ եղանակ

Սահմանում 1.

Եթե թվային արժեքներ ընդունող $f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ է հանդիսանում բնական թվերի բազմությունը՝ n∈N, ապա այդպիսի ֆունկցիային անվանում են անվերջ թվային հաջորդականություն, կամ պարզապես, հաջորդականություն, իսկ $x_{n}=f(n)$ թվերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։

Հաջորդականությունը նշանակում են $\{x_{n}\},\{x_{n}\}_{1}^{\infty }$ կամ

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...,x_{n},...$ (1)

${\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},...,{\frac {1}{3n-1}},...$ (2)

${\frac {3}{2}},{\frac {4}{9}},{\frac {5}{28}},...,{\frac {n+2}{n^{3}+1}},...$ (3)

$-2,0,-2,...,-2,0,...$ (4)

$5,5,5,...,5,...$ (5)

(4) հաջորդականությունում $x_{n}=-1+(-1)^{n}$, իսկ (5), ում՝ $x_{n}=5$:

Դիցուք ունենք $\{x_{n}\}$-ը և $\{y_{n}\}$-ը թվային հաջորդականություններ են։ Նրանց գումար, տարբերություն, արտադրյալ և քանորդ են կոչվում համապատասխանաբար՝ $\{x_{n}+y_{n}\}$, $\{x_{n}-y_{n}\}$, $\{x_{n}\centerdot y_{n}\}$, $\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}$, $(y_{n}\neq 0)$ հաջորդականությունները։

Սահմանում 2:

$\{x_{n}\}$ հաջորդականությունը կոչվում է վերևից (ներքևից) սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M (m) թիվ, որ ցանկացած n բնական թվի համար տեղի ունի անհավասարությունը՝

$x_{n}\eqslantless M$ $(x_{n}\geqslant m)$:

Սահմանում 3:

$\{x_{n}\}$

հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն լինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից սահմանափակ:

Սահմանում 4:

$\{x_{n}\}$

հաջորդականությունը կոչվում է անսահմանափակ, եթե ցանկացած $L>0$ թվի համար $x_{k}\in \{x_{n}\}$: $|x_{k}|>L:$

Օրինակներ

Օրինակ 1:

$-5,-10,-15,...,-5n,...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն վերևից, ներքևից սահմանափակ չէ։

Օրինակ 2:

$1,6,11,...,5n-4,...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն ներքևից, վերևից սահմանափակ չէ։

Օրինակ 3:

$3,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2^{2}}}...,{\frac {3}{2^{n}-1}},...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից։

Օրինակ 4:

$-2,2^{2},-3,3^{2},...,-n,n^{2},...$

հաջորդականությունը սահմանափակ չէ ո՛չ վերևից, ո՛չ էլ ներքևից։

Հաջորդականության բառային նկարագիր

Հաջորդականության բառային նկարագրում, այսինքն պարզ թվերի հաջորդականություն և տասնորդական կոտորակներ։

Օրինակներ

ա) Պարզ թվերի հաջորդականություն

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

բ) Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին

0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 0.11111, ...

Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակ

Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը դա այն է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության $n$-րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները:Այս դեպքում իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ կարողենք գտնել ինչքան որ հարկավոր է։

Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է 'ռեկուրենտ' (լատիներեն recurrentis՝ անդրադարձ բառից)։

Օրինակ

Ունենք $x_{1}=4$, $x_{n}=x_{n-1}+5$, եթե $n=2,3,4,5,6,7,...$, հաշվենք $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},...$ հաջորդականությունը.

$x_{1}=4$

$x_{2}=x_{2-1}+5=x_{1}+5=4+5=9$

$x_{3}=x_{3-1}+5=x_{2}+5=9+5=14$

$x_{4}=x_{4-1}+5=x_{3}+5=14+5=19$

$x_{5}=x_{5-1}+5=x_{4}+5=19+5=24$

Այսպիսով ստացանք՝ 4, 9, 14, 19, 24, ... հաջորդականությունը։

Գրականություն

• Օհանյան Վ. Հ. «Մաթեմատիկական անալիզ», Երևան 2008, Գլուխ 3, էջ 34, 35։
• Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013