Ենթադրենք վեկտորական հարթություն է հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են և հարթությունները)։

Երկգծային ձև կոչվում է ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար:

,
,
,
,

Այստեղ և

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանումԽմբագրել

Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝  ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք  վեկտորների բազմություն է   տեսակի, որտեղ  ։

Երկգծային ձևեր են կոչվում   ֆունկցիաները   տեսակի

որտեղ     իսկ  ՝   հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից   փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներԽմբագրել

  •   երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե     ցանկացած վեկտորների համար։
  •   երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե     ցանկացած վեկտորների համար։
  •   վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ)   ենթահարթության մեջ  -ի նկատմամբ, եթե   բոլոր   համար։   վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ   ենթահարթության մեջ տրված   երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում  -ի նկատմամբ   ենթահարթության համար և նշանակվում է  ։
  •   երկգծային ձևի արմատ կոչվում է  -ի նկատմամբ   հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝   վեկտորների   ամբողջություն, որոնց համար   բոլոր   դեպքում։

ՀատկություններԽմբագրել

  •   երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
  • Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
  • Ընտրված    -ում բազիսում ցանկացած   երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով
 

այնպես, որ ցանկացած   և   վեկտորների համար

 

այսինքն՝

 
  • Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
  •   հարթության չափականությունը  ։
  • Չնայած նրան, որ   երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է   երկգծային ձևի ռանգ: Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է  :
  • Ցանկացած   ենթահարթության համար   օրթոգոնալ լրացումը համարվում է   ենթահարթություն:
  •  , որտեղ    երկգծային ձևի ռանգ է:

Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակԽմբագրել

Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները:

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները   հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր  -ում   մատրիցի միջոցով  , կամ   մատրիցային արտահայտությամբ, ապա   երկգծային ձևը ցանկացած   և   վեկտորների վրա կգրվի, որպես

 ,

այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն

 ,

կամ մատրիցային ձևով՝

 ,
 , որտեղ  ՝   կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է:

Տես նաևԽմբագրել

ԳրականությունԽմբագրել

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.