Բացել գլխավոր ցանկը
Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ a2 + b2 = c2:

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարումը՝ մի այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ: Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը: Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից: Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները:

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին:

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի ​​մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ: Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ:

Բովանդակություն

ՕրինակներԽմբագրել

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում w, x, y, և z տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են:

ax + by = 1 Գծային Դիոֆանտյան հավասարում:
w3 + x3 = y3 + z3 Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 123 + 13 = 93 + 103 = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ[1]:
xn + yn = zn n = 2 լուծմանը (x,y,z) համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները: Իսկ n -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով[2]:
x2ny2 = ±1 Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի: Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից:
4n = 1x + 1y + 1z Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար n ≥ 2, գոյություն ունի x, y, և z, ցանկացած լուծում: Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy):
x4 + y4 + z4 = w4 Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ: Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից: Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր[3]:

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներԽմբագրել

Մեկ հավասարումԽմբագրել

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ ax + by = c, որտեղ a, b և c տրված ամբողջ թվեր են: Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում (որտեղ x և y տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն c թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար a և b թվերի համար, ավելին եթե (x, y) թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ (x + kv, yku), որտեղ k թիվը կամայական թիվ է, իսկ u և v թվերը քանորդ են հանդիսանում a և b թվերի(համապատասխանաբար) համար:

Չինական մնացորդի թեորեմԽմբագրել

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը: Դիցուք՝ n1, …, nk թվերը և k փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ a1, …, ak թվերը k քանորդ, N թիվը հանդիսանա արտադրյալ n1 ··· nk. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի 0 ≤ x < N, ընդ որում՝

 

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգերԽմբագրել

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից: Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

AX = C,

որտեղ Am × n չափի մատրիքս է, իսկ X-ը և C-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ n × 1 և m × 1:

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

B = [bi,j] = UAV

Որտեղ bi,i հավասար չէ զրոյի, իսկ i թիվը մեծ չէ k-ից: Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ: Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

B (V−1X) = UC.

ընդ որում՝

bi,iyi = di for 1 ≤ ik,
0 yi = di for k < in:

Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ x դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն x = Vy հավասարումը որոշված է այնպիսի y-ի համար, որ By = D:

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ ik և di = 0 for i > k, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

 

որտեղ hk+1, ..., hn կամայական ամբողջ թվեր են:

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 232, Springer, p. 117, ISBN 9781846280443, https://books.google.am/books?id=Z9MAm0lTKuEC&pg=PA117 .
  2. Wiles Andrew (1995)։ «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF)։ Annals of Mathematics (Annals of Mathematics) 141 (3): 443–551։ JSTOR 2118559։ OCLC 37032255։ doi:10.2307/2118559 
  3. Noam Elkies (1988)։ «On A4 + B4 + C4 = D4»։ Mathematics of Computation 51 (184): 825–835։ JSTOR 2008781։ MR 0930224։ doi:10.2307/2008781 

Արտաքին հղումներԽմբագրել

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 397