Դիոֆանտյան հավասարում

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ a2 + b2 = c2:

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի ​​մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։

ՕրինակներԽմբագրել

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում w, x, y, և z տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

ax + by = 1 Գծային Դիոֆանտյան հավասարում։
w3 + x3 = y3 + z3 Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 123 + 13 = 93 + 103 = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ[1]։
xn + yn = zn n = 2 լուծմանը (x,y,z) համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները։ Իսկ n -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով[2]։
x2ny2 = ±1 Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի։ Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից։
4n = 1x + 1y + 1z Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար n ≥ 2, գոյություն ունի x, y, և z, ցանկացած լուծում։ Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy):
x4 + y4 + z4 = w4 Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ։ Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից։ Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր[3]։

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներԽմբագրել

Մեկ հավասարումԽմբագրել

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ ax + by = c, որտեղ a, b և c տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում (որտեղ x և y տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն c թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար a և b թվերի համար, ավելին եթե (x, y) թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ (x + kv, yku), որտեղ k թիվը կամայական թիվ է, իսկ u և v թվերը քանորդ են հանդիսանում a և b թվերի(համապատասխանաբար) համար։

Չինական մնացորդի թեորեմԽմբագրել

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ n1, …, nk թվերը և k փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ a1, …, ak թվերը k քանորդ, N թիվը հանդիսանա արտադրյալ n1 ··· nk. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի 0 ≤ x < N, ընդ որում՝

 

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգերԽմբագրել

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

AX = C,

որտեղ Am × n չափի մատրիքս է, իսկ X-ը և C-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ n × 1 և m × 1:

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

B = [bi,j] = UAV

Որտեղ bi,i հավասար չէ զրոյի, իսկ i թիվը մեծ չէ k-ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

B (V−1X) = UC.

ընդ որում՝

bi,iyi = di for 1 ≤ ik,
0 yi = di for k < in:

Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ x դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն x = Vy հավասարումը որոշված է այնպիսի y-ի համար, որ By = D:

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ ik և di = 0 for i > k, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

 

որտեղ hk+1, ..., hn կամայական ամբողջ թվեր են։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 232, Springer, p. 117, ISBN 9781846280443, https://books.google.am/books?id=Z9MAm0lTKuEC&pg=PA117 .
  2. Wiles Andrew (1995)։ «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF)։ Annals of Mathematics (Annals of Mathematics) 141 (3): 443–551։ JSTOR 2118559։ OCLC 37032255։ doi:10.2307/2118559 
  3. Noam Elkies (1988)։ «On A4 + B4 + C4 = D4»։ Mathematics of Computation 51 (184): 825–835։ JSTOR 2008781։ MR 0930224։ doi:10.2307/2008781 

Արտաքին հղումներԽմբագրել

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 397