Դիոֆանտյան հավասարում

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։

Օրինակներ խմբագրել

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում $w$ , $x$ , $y$ , և $z$ տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

$ax + by = 1$	Գծային Դիոֆանտյան հավասարում։
$w 3 + x 3 = y 3 + z 3$	Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 12³ + 1³ = 9³ + 10³ = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ^[1]։
$x n + y n = z n$	$n$ = 2 լուծմանը $(x, y, z)$ համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները։ Իսկ $n$ -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով^[2]։
$x 2 - ny 2 = \pm1$	Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի։ Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից։
$4 n = 1 x + 1 y + 1 z$	Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար $n$ ≥ 2, գոյություն ունի $x$ , $y$ , և $z$ , ցանկացած լուծում։ Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ $4 xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz + xz + xy)$ :
$x 4 + y 4 + z 4 = w 4$	Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ։ Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից։ Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր^[3]։

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ խմբագրել

Մեկ հավասարում խմբագրել

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ $ax + by = c$ , որտեղ $a$ , $b$ և $c$ տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում (որտեղ

x

և

y

տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն

c

թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

a

և

b

թվերի համար, ավելին եթե

(x, y)

թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝

(x + kv, y - ku)

, որտեղ

k

թիվը կամայական թիվ է, իսկ

u

և

v

թվերը քանորդ են հանդիսանում

a

և

b

թվերի(համապատասխանաբար) համար։

Չինական մնացորդի թեորեմ խմբագրել

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ $n 1, \dots, n k$ թվերը և $k$ փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ $a 1, \dots, a k$ թվերը $k$ քանորդ, $N$ թիվը հանդիսանա արտադրյալ $n 1 \cdot\cdot\cdot n k$ . թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի $0 \leq x < N$ , ընդ որում՝

{\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր խմբագրել

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

A X = C

,

որտեղ $A$ -ն $m \times n$ չափի մատրիքս է, իսկ $X$ -ը և $C$ -ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ $n \times 1$ և $m \times 1$ :

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

B = [b i, j] = UAV

Որտեղ $b i, i$ հավասար չէ զրոյի, իսկ $i$ թիվը մեծ չէ $k$ -ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

B (V -1 X) = UC

.

ընդ որում՝

b i, i y i = d i

for

1 \leq i \leq k

,

0 y i = d i

for

k < i \leq n

:

Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ $x$ դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն $x = Vy$ հավասարումը որոշված է այնպիսի $y$ -ի համար, որ $By = D$ :

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ $i \leq k$ և $d i = 0$ for $i > k$ , ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

V\,\left[{\begin{array}{c}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right]\,,

որտեղ $h k +1, ..., h n$ կամայական ամբողջ թվեր են։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 232, Springer, էջ 117, ISBN 9781846280443.
↑ Wiles, Andrew (1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics. Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2011 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 15-ին.
↑ Noam Elkies (1988). «On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴». Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.

Արտաքին հղումներ խմբագրել

Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
Diophantine Equation Արխիվացված 2016-03-08 Wayback Machine. From PlanetMath.
Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 397)։

[1] Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 232, Springer, էջ 117, ISBN 9781846280443.

[2] Wiles, Andrew (1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics. Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2011 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 15-ին.

[3] Noam Elkies (1988). «On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴». Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.

[1]

[2]

[3]