Գալուայի խումբ

(Վերահղված է Գաուլայի խումբից)

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

ՍահմանումԽմբագրել

Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է PԳալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝  -ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած   տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․

 .

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր։  .Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).

ՀատկությունԽմբագրել

ՕրինակներԽմբագրել

  • Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
  • Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
  •   ընդլայնված դաշտը կազմված է   տեսքի թվերից, որտեղ a, bռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին  փոքրացնող նշանի գործողություն։
  • Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք   и   վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝
 .
  • Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում  ։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։  .  -ի համար հետևում է  , այսինքն՝  .։ Ուստի  -ից հետևում է, որ  ։ Դա ցույց է տալիս, որ   հավասարումը թույլ է տալիս   ձևափոխությունը։  -ի համար ստացվում է  ։ Այդ հավասարման բաժանումը   սկզբնական հավասարման տալիս է  ։ Այսպիսով   ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է  հավասարմանը։ Նման ձևով   ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝  ։ Օգտագործելով   տեղափոխությունը գտնում ենք, որ   և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ   հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների   խմբեր, որտեղ  -ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է   ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք   ձևափոխությունը։  -ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է   ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի   փոխարկումը տեղափոխում է   հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է   հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ  -ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝  ։   ձևափոխությունը տեղափոխում է   արմատը  -ում, արմատ   -ը՝  -ում, արմատ  -ը՝  -ում, արմատ   -ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են  ։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ   ձևափոխությունները բերվում է   տեղափոխության։   ձևափոխությունը բերվում է   տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով   հավասարման արմատների   ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է  ։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են   հավասարման Գալուայի խմբեր.[1]

ԿիրառումԽմբագրել

Դաշտի ընդլայնումԽմբագրել

Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝   Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝   Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում   դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի   ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝   տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

Հանրահաշվական հավասարումԽմբագրել

Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Н. Х. Ибрагимов Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989, Короткое отступление о группе Галуа, с. 42

ԳրականությունԽմբագրել