Աբելյան ընդլայնում

Աբելյան ընդլայնում դաշտի — Գալուայի ընդլայնում, որի համար Գալուաի խումբը հանդիսանում է աբելյան։

Օրինակ, $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ ընդլայնումը հանդիսանում է աբելյան, նրա Գալուայի խումբը կազմված է երկու տարրերից և հանդիսանում է աբելյան, ոչ աննշան ավտոմորֆիզմը տեղերով վերադասավորվում է ${\sqrt {2}}$ և $-{\sqrt {2}}$ թվերը։ $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {3}}i]$ ընդլայնումը չի հանդիսանում աբելյան, տրված դաշտը հանդիսանում է բազմանդամի ընդլայնումը դաշտի $x^{3}-2$ և նրա ավտոմորֆիզմը, սևեռված $\mathbb {Q}$, ներկայացնում է այդ բազմանդամի տարբեր արմատներ,այսինքն այդ ընդլայնման Գալուայի խումբը հանդիսանում է 3 շարքի համաչափ խմբեր և համապատասխանաբար,ոչ՝ տեղափոխական։ Աբելյան ընդլայնման կարևոր օրինակ է հանդիսանում ցիկլային (շրջանային ընդլայնում), ստացվում է ավելացնելով դաշտի միավոր արմատները, ռացիոնալ թվերի դաշտի դեպքում, այդպիսի ընդլայնման դեպքում ստացվում է շրջանային դաշտ։ Կրոնեկեր - Վեբերի թեորեմայի համաձայն ռացիոնալ թվերի ցանկացած աբելյան ընդլայնումը հանդիսանում է մի որոշ շրջանային դաշտի ենթադաշտ։

Եթե դաշտը պարունակում է միավոր արմատների նախանական աստիճանը $n$,ապա ընդլայնումը, ստացված՝ ավելացնելով նրա արմատին $n$աստիճանը (Կումմերի ընդլայնման) որոշ տարրերից,հանդիսանում է աբելյան։ Ընդհանուր դեպքում այդ պնդումը չի հանդիսանում ճշմարիտ։

Ցիկլային ընդլայնումը ՝աբելյան ընդլայնման կարևոր մասնավոր դեպք,ընդլայնում,որի համար Գալուայի խումբը հանդիսանում է ցիկլային։ Ցանկացած վերջավոր դաշտի վերջավոր ընդլայնում հանդիսանում է ցիկլային։