Պոտենցիալի տեսություն

Պոտենցիալի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներ, ունակություններ, չափի ցրումներ՝ տարբեր տեսանկյուններից և այլ հարակից հարցեր։

Պոտենցիալ դաշտեր

Պոտենցիալի տեսությունը առաջացել է մաթեմատիկական ֆիզիկայի այն բաժնից, որն ուսումնասիրում է մարմինների, լիցքերի և այլ օբյեկտների առաջացրած ուժային դաշտեր։ Ուժային դաշտը (վեկտորական դաշտը)՝

${\vec {a}}(x,y,z,)=[a_{1}(x,y,z),a_{2}(x,y,z),a_{3}(x,y,z)]$

կոչվում է պոտենցիալ դաշտ, եթե գոյության ունի այնպիսի սկալյար $v(x,y,z)$ ֆունկցիա (որն անվանում են a դաշտի պոտենցիալ ֆունկցիա) որ՝

${\frac {\partial v}{\partial x}}=a_{1}$, ${\frac {\partial v}{\partial y}}=a_{2}$, ${\frac {\partial v}{\partial z}}=a_{3}$:

Պոտենցիալ դաշտեր են, մասնավորաբար, գրավիտացիոն դաշտը, էլեկտրաստատիկ դաշտը և այլն։ Օրինակ՝ $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ կետում կենտրոնացված m զանգվածը իր շուրջը ստեղծում է ուժային դաշտ, որի պոտենցիալ ֆունկցիան (նյուտոնյան պոտենցիալ) ունի հետևյալ տեսքը՝

$V(B)={\frac {\gamma \cdot m}{|A-B|}}$

որտեղ $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$, իսկ $\left\vert A-B\right\vert ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}$-ն $A$ և $B$ կետերի հեռավորությունն է, $\gamma$-ն՝ գրավիտացիոն հաստատունը։

Մի քանի կետերում կենտրոնացված զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտի պոտենցիալը հավասար է առանձին զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտերի պոտենցիալների գումարին։

Եթե զանգվածը բաշխված է $\rho$ խտությամբ, ապա դրա ստեղծած ուժային դաշտի ․ պոտենցիալ ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

$V(B)=\gamma \cdot \iiint {\frac {\rho (A)dA}{|A-B|}}$

Այն $V(B)$ ֆունկցիաները, որոնք կարելի է ներկայացնել վերը գրված տեսքով ($\rho$-ն ոչ բացասական ֆունկցիա է), սուբհարմոնիկ են․ այս է պատճառը, որ սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներն ընդհանրապես պոտենցիալի տեսության ուսումնասիրության կարևորագույն օբյեկտներից են։

1960-ական թվականներին պարզվեց, որ պոտենցիալի տեսության որոշ բաժիններ («Մաքսիմումի սկզբունքին» բավարարող կորիզների հետազոտություններ) և հավանականությունների տեսության որոշ բաժիններ (Մարկովյան պրոցեսների և կիսախմբերի տեսություն) իրականում միասնական տեսություն են։

Կիրառություններ

Պոտենցիալի տեսությունն ունի մի շարք կիրառություններ, օրինակ՝ օգտակար հանածոների հայտնաբերման և դրանց քանակի գնահատման համար օգտվում են գրավիմետրիայի մեթոդից, որի տեսական հիմքը պոտենցիալի տեսության հակադարձ խնդիրն է. այն է, գտնել մարմնի ձևը և խտությունը՝ ունենալով մարմնի՝ իրենից դուրս ստեղծած դաշտի պոտենցիալը։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։