Պոյնտինգի թեորեմ

Պոյnնտինգի թեորեմ, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

$W=\int _{V}\left({\frac {{\overline {E}}{\overline {D}}}{2}}+{\frac {{\overline {H}}{\overline {B}}}{2}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}E^{2}}{2}}\right)dV$

Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

${\begin{aligned}&\epsilon _{a}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\text{rot}}{\overline {H}}-{\overline {j}}\\&\mu _{a}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}=-{\text{rot}}{\overline {E}}\end{aligned}}$

Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք

$\epsilon _{a}{\overline {E}}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}+\mu _{a}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}={\overline {E}}\;{\text{rot}}\;{\overline {H}}-{\overline {H}}\;{\text{rot}}\;{\overline {E}}-{\overline {j}}{\overline {E}}$

(1)

Բայց,

${\begin{aligned}&{\overline {E}}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {E}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)\\&{\overline {H}}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {H}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(H^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Սակայն համաձայն նույնության

${\overline {E}}\;{\text{rot}}\;{\overline {H}}-{\overline {H}}\;{\text{rot}}\;{\overline {E}}=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)$

1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}H^{2}}{2}}\right)=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)-{\overline {j}}{\overline {E}}$

կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}H^{2}}{2}}\right)dV=\int _{V}{\overline {j}}{\overline {E}}dV+\int _{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}$

Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

$\int _{V}{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dV=\int _{S}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dS$

Այնուհետև նշանակելով

${\overline {E}}\times {\overline {H}}={\overline {\Pi }}$

կստանանք

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}H^{2}}{2}}\right)dV=\int _{V}{\overline {j}}{\overline {E}}dV+\int _{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}$

(2)

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։

Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։ Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։ Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է S մակերեսով։ Այսպիսով՝

$-{\frac {dW}{dt}}=P_{\Pi }+\int _{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}$

(3)

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։ (3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։

Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։