Ոսկե եռանկյուն

Ոսկե եռանկյուն, հավասարասրուն եռանկյունի է, որի մեջ երկու կողային (հավասար) կողմերը հիմքի հետ գտնվում են ոսկե համամասնության մեջ։

Պենտագրամ: Յուրաքանչյուր անկյուն ոսկե եռանկյունի է: Նկարը պարունակում է նաև հինգ ոսկե գնոմոններ, որոնք ստացվում են երկու ոչ հարևան անկյունները կենտրոնական հնգանկյանը միացնելով:

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.$

Ոսկե եռանկյունիները կարելի է գտնել դոդեկաէդրի(կանոնավոր բազմանիստ) և իկոսաէդրի փռվածքների աստղանման պատկերների մեջ։

Այդ եռանկյունն կարելի է հանդիպել նաև պենտագրամի գագաթներին։ Գագաթի անկյունը հավասար է։

$\theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.$

Լոգարիթմական պարույրով պարուրված ոսկե եռանկյուններ

Իմանալով, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° է, մենք ստանում ենք, որ հիմքի անկյունները հավասար են 72 °-ի ։ Ոսկե եռանկյուն կարելի է գտնել նաև կանոնավոր տասանկյան մեջ՝ կենտրոնը միացնելով երկու հարևան գագաթներին։ Ստացված եռանկյունը ոսկե կլինի, քանի որ կանոնավոր տասանկյան ներքին անկյուններից յուրքանչյուրը՝ 180°(10°-2)/10=144° է, միացնելով տասանկյան գագաթը և կենտրոնը, ներքին անկյան մասերը կլինեն՝ 144°/2=72°.

Ոսկե եռանկյան անկյունները ևս յուրահատուկ են, քանի որ նրաք հարաբերում են ինչպես՝ 2: 2: 1։

Լոգարիթմական պարույր

Ոսկե եռանկյունների հաջորդականությանը կարելի է պարուրել լոգարիթմական պարույրով՝ (մեծ եռանկյունուց սկսած) հիմքի անկյունը տրոհելով երկու հավասար մասերի, ստանում ենք հաջորդ կետը որով կանցնի պարույրը։ Տրոհման այս գործընթացը կարող է շարունակվել անվերջ՝ ստեղծելով անվերջ թվով ոսկե եռանկյուններ։ Ստացված գագաթներով կարելի է գծել լոգարիթմական պարույր։ Այս պարույրը հայտնի է նաև որպես հավսարանկյուն պարույր անվանբ։ Այդ տերմինը առաջարկեց Ռենե Դեկարտը․ «Եթե բևեռից ուղիղ գիծ գծեք կորի ցանկացած կետի, այն կորը կհատի միշտ նույն անկյան տակ»։

Ոսկե գնոմոն

Ոսկե եռանկյունը տրոհված է Ռոբինսոնի երկու եռանկյունների` ոսկե եռանկյունու և ոսկե թզուկի:

Ոսկե եռանկյան հետ սերտորեն կապված է ոսկե գնոմոնը՝ բութանկյուն հավասարասրուն եռանկյուն, որի մեջ հավասար (կարճ) կողմերի երկարությունների հարաբերությունը երրորդ կողմի (հիմքի) երկարությանը ոսկե հարաբերակցության հակառակն է։ Ոսկե գնոմոնը եզակի եռանկյուն է ՝ 1: 1: 3 անկյունային հարաբերակցությամբ։ Նրա սուր անկյունները 36° են, ինչպես ոսկե եռանկյան գագաթի անկյունը։ Նկարում երևում է, որ AX-ի և СX-ի երկարությունները հավասար են φ։ «Ոսկե եռանկյան հիմքի ու կողմի հարաբերությունը հավասար են ոսկե հարաբերակցությանը՝ φ, ինչպես նաև ոսկե գնոմոնի կողմի և հիմքի հարաբերությունը, հավասար է ոսկե հարաբերակցությանը»։

Խճանկար(վերև) և յոթ հնարավոր տեսակների գագաթնակետի (ներքև) ՝ P2 տիպի Պենրոուզի խճանկար։

Ոսկե եռանկյունը կարելի է տրոհել ոսկե եռանկյունու և ոսկե գնոմոնի։ Նույնը վերաբերում է ոսկե գնոմոնին։ Ստացված ոսկե գնոմոնը և ոսկե եռանկյունը՝ իրենց հավասար կողմերով (գնոմոնի կողմը հավասար է եռանկյան կողմին) նույնպես հանդրսանում են Ռոբինսոնի բութանկյուն և սուրանկյուն եռանկյուններ։ Այս հավասարասրուն եռանկյունիները կարող են օգտագործվել Պենրոուզի խճանկարներ ստեղծելու համար։ Պենրոուզի խճանկարները կազմված են «օձերից» և «տեգերից»։ «Օձը» դելտոիդ է, որը բաղկացած է երկու ոսկե եռանկյունուց, իսկ «տեգերը»` դելտոիդ, որը բաղկացած է երկու ոսկե թզուկներից։

Տես նաև

• Ոսկե հատում
• Ոսկե ուղղանկյուն
• Ոսկե շեղանկյուն
• Կեպլերի եռանկյուն
• Պենրոուզի խճանկար
• Հնգագիծ

Գրականություն

• Kimberly Elam Geometry of Design. — New York: Princeton Architectural Press, 2001. — ISBN 1-56898-249-6
• H.E. Huntley The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. — New York: Dover Publications Inc, 1970. — ISBN 0-486-22254-3
• Mario Livio The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5
• Arthur Loeb Concepts and Images: Visual Mathematics. — Boston: Birkhäuser Boston, 1992. — ISBN 0-8176-3620-X

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W., "Golden triangle", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Golden gnomon", MathWorld.
• Robinson triangles at Tilings Encyclopedia

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ոսկե եռանկյուն» հոդվածին։