Հունգարական ալգորիթմ
Հունգարական ալգորիթմ կամ հունգարական մեթոդ, կոմբինատոր օպտիմիզացիայի ալգորիթմ, որը լուծում է նշանակման խնդիրը բազմանդամային ժամանակում և որը ենթադրում է նախնական երկակի մեթոդներ։ Այն մշակվել և հրապարակվել է Հարոլդ Կուհնի կողմից 1955-ին, ով տվել է «Հունգարական մեթոդ» անվանումը, քանիր որ ալգորիթմը մեծ մասամբ հիմնված էր հունգարացի մաթեմատիկոսներ՝ Դենես Կոնիգի և Յենո Էգեվարիի աշխատանքների վրա[1][2]։ Սակայն, 2006 թվականին հայտնաբերվել է, որ Կառլ Գուստավ Յակոբը լուծել էր նշանակման խնդիրը 19-րդ դարում, իսկ լուծումը հետմահու հրատարակվել էր 1890 թվականին (լատիներեն)[3]։
Հունգարական ալգորիթմ | |
---|---|
Տեսակ | ալգորիթմ |
Հայտնաբերող | Հարոլդ Կուհն |
Ջեյմս Մունկրեսը 1957 թվականին ալգորիթմը ուսումնասիրելիս նկատել է, որ այն (խիստ) բազմանդամային է[4]։ Այս պատճառով ալգորիթմը երբմեն կոչում են Կուհն-Մունկրեսի ալգորիթմ կամ Մունկրեսի նշանակման ալգորիթմ։ Նախնական ալգորիթմի ժամանակի բարդությունը էր, սակայն Ջեք Էդմոնդսը Ռիչարդ Կարպը նկատել է, որ հնարավոր է այն ձևափոխել է ստանալ արագությամբ ալգորիթմ (այս եզրակացությանը անկախ հանգել է նաև Ն. Տոմիզավան)[5][6]։ Ջոնկեր-Վոլգենտի ալգորիթը հունգարական մեթոդի արագությամբ տարբերակներից է[7]։ Ֆորդ-ֆալկերսոնի ալգորիթմը այս ալգորիթմի ընդարձակված տարբերակ է։
Խնդիր խմբագրել
Օրինակ խմբագրել
Այս պարզ օրինակում կան երեք աշխատողներ. Անին, Բարսեղը և Գոհարը Նրանցից մեկը պետք է մաքրի լոգարանը, մյուսը պետք է սրբի հատակը իսկ երրորդը պետք է լվանա պատուհանները, բայց նրանցից յուրաքանչյուրը տարբեր աշխատանքների համար տարբեր աշխատավարձ են պահանջում։ Խնդիրն է գտնել աշխատանքները աշխատողներին նշանակելու ամենաէժան տարբերակը։ Խնդիրը կարելի է ներկայացնել աշխատողների պահանջած աշխատավարձների մատրիցի տեսքով։ Օրինակ,
- ԱռաջադրանքԱշխատող
Մաքրել
լոգարանըՍրբել
հատակըԼվանալ
պատուհաններըԱնի $8 $4 $7 Բարսեղ $5 $2 $3 Գոհար $9 $4 $8
Հունգարական մեթոդով այս խնդիրը լուծելու դեպքում կստանքն հետևյալ նշանակումը՝ Անին պետք մաքրի լոգարանները, Գոհարը պետք է սրբի հատակը, իսկ Բարսեղը պետք է լվանա պատուհանները, որը ընդհանուր գինը կկազմի $15։ Լուծումը կարելի է ստուգել բոլոր տարբերակները փորձելով.
- ՄաքրելՍրբել
Անի Բարսեղ Գոհար Անի — $17 $16 Բարսեղ $18 — $18 Գոհար $15 $16 —
Մատրիցով ներկայացում խմբագրել
Մատրիցով ներկայացման դեպքում տրված է n×n չափի ոչբացասական մատրից, որը i տողը և j սյան արժեքը հավասար է j աշխատանքն անելու համար i աշխատողի պահանջած վարձին։ Պետք է գտնել այնպիսի նշանակում, որ յուրաքանչյուր աշխատող ունենա ճիշտ մեկ աշխատանք և ընդհանուր գինը նվազագույնը լինի։
Սա կարելի է ներկայացնել որպես տրված C մատրիցի տողերի այնպիսի տեղափոխություն, որի հիմնական անկյունագծային գումարը նվազագույնն է, այսինքն
որտեղ P-ը տեղափոխված մատրիցն է։
Եթե պետք է գտնել առավելագույն գունը, ուրեմն պետք է պարզապես C մատրիցի գները դարձնել բացասական։
Երկկողմանի գրաֆներով ներկայացում խմբագրել
Ալգորիթմը հնարավոր է համարժեք նկարագրել, եթե խնդիրը ներկայացվի երկկողմ գրաֆով։ Ունենք լրիվ երկկողմ գրաֆը, S գագաթները համապատասխանում են n աշխատողներին, իսկ T գագաթները՝ n աշխատանքներին, իսկ կշռով կողորը (E) համապատասխանում են աշխատողի պահանջած աշխատավարձին։ Այս դեպքում պետք է գտնել նավազագույն գնով կատարյալ զուգակցում։
Ծանոթագրություններ խմբագրել
- ↑ Harold W. Kuhn, "The Hungarian Method for the assignment problem", Naval Research Logistics Quarterly, 2: 83–97, 1955. Kuhn's original publication.
- ↑ Harold W. Kuhn, "Variants of the Hungarian method for assignment problems", Naval Research Logistics Quarterly, 3: 253–258, 1956.
- ↑ «Presentation». Արխիվացված է օրիգինալից 2015 թ․ հոկտեմբերի 16-ին.
- ↑ J. Munkres, "Algorithms for the Assignment and Transportation Problems", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 5(1):32–38, 1957 March.
- ↑ Edmonds, Jack; Karp, Richard M. (1972 թ․ ապրիլի 1). «Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems». Journal of the ACM (անգլերեն). 19 (2): 248–264. doi:10.1145/321694.321699. S2CID 6375478.
- ↑ Tomizawa, N. (1971). «On some techniques useful for solution of transportation network problems». Networks (անգլերեն). 1 (2): 173–194. doi:10.1002/net.3230010206. ISSN 1097-0037.
- ↑ Jonker, R.; Volgenant, A. (1987 թ․ դեկտեմբեր). «A shortest augmenting path algorithm for dense and sparse linear assignment problems». Computing. 38 (4): 325–340. doi:10.1007/BF02278710. S2CID 7806079.