Հերմիտի բազմանդամների գրաֆիկը
n
=
0
,
1
,
.
.
.
,
5
{\displaystyle n=0,1,...,5}
Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ
H
n
m
a
t
h
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ
H
n
p
h
y
s
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}
Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների (
n
=
0
,
1
,
.
.
.
,
10
{\displaystyle n=0,1,...,10}
H
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle H_{0}(x)=1\,}
H
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle H_{1}(x)=x\,}
H
2
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,}
H
3
(
x
)
=
x
3
−
3
x
{\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,}
H
4
(
x
)
=
x
4
−
6
x
2
+
3
{\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}
H
5
(
x
)
=
x
5
−
10
x
3
+
15
x
{\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}
H
6
(
x
)
=
x
6
−
15
x
4
+
45
x
2
−
15
{\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}
H
7
(
x
)
=
x
7
−
21
x
5
+
105
x
3
−
105
x
{\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}
H
8
(
x
)
=
x
8
−
28
x
6
+
210
x
4
−
420
x
2
+
105
{\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}
H
9
(
x
)
=
x
9
−
36
x
7
+
378
x
5
−
1260
x
3
+
945
x
{\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}
H
10
(
x
)
=
x
10
−
45
x
8
+
630
x
6
−
3150
x
4
+
4725
x
2
−
945
{\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}
Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ (
n
=
0
,
1
,
.
.
.
,
10
{\displaystyle n=0,1,...,10}
H
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle H_{0}(x)=1\,}
H
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}
H
2
(
x
)
=
4
x
2
−
2
{\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}
H
3
(
x
)
=
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}
H
4
(
x
)
=
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}
H
5
(
x
)
=
32
x
5
−
160
x
3
+
120
x
{\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
H
6
(
x
)
=
64
x
6
−
480
x
4
+
720
x
2
−
120
{\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}
H
7
(
x
)
=
128
x
7
−
1344
x
5
+
3360
x
3
−
1680
x
{\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}
H
8
(
x
)
=
256
x
8
−
3584
x
6
+
13440
x
4
−
13440
x
2
+
1680
{\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}
H
9
(
x
)
=
512
x
9
−
9216
x
7
+
48384
x
5
−
80640
x
3
+
30240
x
{\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}
H
10
(
x
)
=
1024
x
10
−
23040
x
8
+
161280
x
6
−
403200
x
4
+
302400
x
2
−
30240
{\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝
H
n
(
x
)
=
∑
j
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
j
n
!
j
!
(
n
−
2
j
)
!
(
2
x
)
n
−
2
j
=
x
n
−
n
(
n
−
1
)
2
x
n
−
2
+
1
4
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
2
x
n
−
4
−
…
,
{\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
H
2
n
(
−
x
)
=
H
2
n
(
x
)
,
H
2
n
+
1
(
−
x
)
=
−
H
2
n
+
1
(
x
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots }
x
=
0
{\displaystyle x=0}
H
2
n
(
0
)
=
(
−
1
)
n
2
n
(
2
n
)
!
n
!
,
H
2
n
+
1
=
0
,
n
=
0
,
1
,
2
,
{\displaystyle H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,}
H
2
n
(
0
)
=
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
n
!
,
H
2
n
+
1
=
0
,
n
=
0
,
1
,
2
,
{\displaystyle H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,}
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
H
n
(
x
)
=
|
x
n
−
1
0
0
⋯
0
1
x
n
−
2
0
⋯
0
0
1
x
n
−
3
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
0
0
⋯
x
|
{\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}
Գումարման բանաձև
խմբագրել
Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։
(
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
n
2
)
μ
2
μ
!
H
μ
[
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
a
n
x
n
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
n
2
]
=
∑
m
1
+
⋯
+
m
n
=
μ
a
1
m
1
m
1
!
⋯
a
n
m
n
m
n
!
H
m
1
(
x
1
)
⋯
H
m
n
(
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.}
Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
=
1
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1}
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
n
μ
2
H
μ
(
n
x
)
=
∑
m
1
+
⋯
+
m
n
=
μ
μ
!
m
1
!
⋯
m
n
!
H
m
1
(
x
)
⋯
H
m
n
(
x
)
{\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
a
1
=
a
2
=
1
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}
x
1
=
2
x
,
x
2
=
2
y
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y}
2
μ
H
μ
(
x
+
y
)
=
∑
p
+
q
+
r
+
s
=
μ
μ
!
p
!
q
!
r
!
s
!
H
p
(
x
)
H
q
(
x
)
H
p
(
y
)
H
q
(
y
)
{\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)}
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
=
1
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1}
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
n
μ
2
H
μ
(
n
x
)
=
∑
m
1
+
⋯
+
m
n
=
μ
μ
!
m
1
!
⋯
m
n
!
H
m
1
(
x
)
⋯
H
m
n
(
x
)
{\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
a
1
=
a
2
=
1
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}
x
1
=
2
x
,
x
2
=
2
y
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y}
2
μ
H
μ
(
x
+
y
)
=
∑
p
+
q
+
r
+
s
=
μ
μ
!
p
!
q
!
r
!
s
!
H
p
(
x
)
H
q
(
x
)
H
p
(
y
)
H
q
(
y
)
{\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)}
Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը
խմբագրել
Օրթոգոնալություն
խմբագրել
Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}
e
−
x
2
{\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}
∫
−
∞
∞
H
n
(
x
)
H
m
(
x
)
e
−
x
2
/
2
d
x
=
n
!
2
π
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}
∫
−
∞
∞
H
n
(
x
)
H
m
(
x
)
e
−
x
2
d
x
=
2
n
n
!
π
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}
որտեղ
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
p
{\displaystyle p}
x
p
p
!
=
∑
k
=
0
k
≤
p
/
2
1
2
k
1
k
!
(
p
−
2
k
)
!
H
p
−
2
k
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).}
Դրանից բխում է կապ
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
A
n
H
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)}
A
n
=
1
n
!
∑
k
=
0
∞
1
2
k
(
n
+
2
k
)
!
k
!
a
n
+
2
k
,
a
n
=
1
n
!
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
(
n
+
2
k
)
!
k
!
A
n
+
2
k
{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}}
Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝
1
F
1
(
α
,
γ
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
α
,
n
)
(
γ
,
n
)
(
1
,
n
)
2
F
2
(
α
+
n
2
,
α
+
n
+
1
2
;
γ
+
n
2
,
γ
+
n
+
1
2
;
1
2
)
H
n
(
x
)
,
(
a
,
b
)
≡
Γ
(
a
+
b
)
Γ
(
a
)
,
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},}
2
F
2
(
a
1
,
a
2
;
b
1
,
b
2
;
x
)
{\displaystyle {}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)}
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց
խմբագրել
Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
p
c
k
e
α
k
x
,
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
A
n
H
n
(
x
)
,
A
n
=
1
n
!
∑
k
=
1
p
c
k
α
k
n
e
α
k
2
2
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.}
c
h
t
x
=
e
t
2
2
∑
n
=
0
∞
t
2
n
(
2
n
)
!
H
2
n
(
x
)
,
s
h
t
x
=
e
t
2
2
∑
n
=
0
∞
t
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
H
2
n
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle \mathrm {ch} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\mathrm {sh} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}
cos
t
x
=
e
−
t
2
2
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
t
2
n
(
2
n
)
!
H
2
n
(
x
)
,
sin
t
x
=
e
−
t
2
2
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
t
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
H
2
n
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle \cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}
Դիֆերենցիալ հավասարումները
խմբագրել
Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։
H
n
(
x
)
=
n
!
2
π
i
∮
Γ
e
z
x
−
z
2
/
2
z
n
+
1
d
z
{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz}
Որտեղ
Γ
{\displaystyle \Gamma }
H
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
(
x
+
i
y
)
n
e
−
y
2
2
d
y
{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy}
Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ
խմբագրել
Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.
H
2
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
n
(
2
n
)
!
n
!
1
F
1
(
−
n
;
1
2
;
x
2
2
)
,
H
2
n
+
1
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
n
(
2
n
+
1
)
!
n
!
x
1
F
1
(
−
n
;
3
2
;
x
2
2
)
{\displaystyle H_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)}
Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.
H
2
n
(
x
)
=
(
−
2
)
n
n
!
L
n
(
−
1
/
2
)
(
x
2
/
2
)
,
H
2
n
+
1
(
x
)
=
(
−
2
)
n
n
!
x
L
n
(
1
/
2
)
(
x
2
/
2
)
{\displaystyle H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!}
![{\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c984b31a36fb60efb4ceefe02e30355396e14aa6)
![{\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e86bac42f18f978178d08b60ec35738484910b5)
