Համիլտոնի ֆունկցիա

Չշփոթել համիլտոնյանի հետ։

Համիլտոնի ֆունկցիա կամ համիլտոնյան, մեխանիկական համակարգի դինամիկան նկարագրող ֆունկցիա դասական մեխանիկայի ձևակերպումով, որը կախված է ընդհանրացված կոորդինատներից, իմպուլսներից և, հավանական է, ժամանակից։ Տրվում է

$H(p,q)$

կամ

$H(p,q,t)$

արտահայտություններով, որտեղ $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$-ն տվյալ համակարգը նկարագրող ընդհանրացված իմպուլսների լրից հավաքածուն է (n-ը ազատության աստիճանների թիվ է),

$q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})$-ը՝ ընդհանրացված կոորդինատների լրիվ հավաքածուն։

Քվանտային մեխանիկայում և դաշտի քվանտային տեսությունում համիլտոնյանը կամ Համիլտոնի օպերատորը, որը նկարագրում է համակարգի ժամանակային էվոլյուցիան, համապատասխանում է դասական ֆիզիկայի Համիլտոնի ֆունկցիային և նրա ընդհանրացումն է։

Քվանտային մեխանիկայի և դաշտի քվանտային տեսության ըստ հետագծերի ինտեգրալներով ձևակերպման մեջ կիրառվում է նաև դասական Համիլտոնի ֆունկցիան։

Համիլտոնի ֆունկցիան հանդես է գալիս փոքրագույն գործողության սկզբունքում, Համիլտոնի կանոնիկ հավասարումներում (շարժման հավասարումների հնարավոր ձևերից մեկը դասական մեխանիկայում) և Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումներում՝ հանդիսանալով համիլտոնյան մեխանիկայի հիմքը։

Կոնսերվատիվ համակարգերի համար Համիլտոնի ֆունկցիան ներկայացնում է լրիվ էներգիան (արտահայտված որպես կոորդինատների և իմպուլսների ֆունկցիա), այսինքն՝ դասական իմաստով համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարը։

Համիլտոնի ֆունկցիան Լեժանդրի ձևափոխությունների միջոցով կապված է լագրանժյանի հետ հետևյալ առնչությամբ՝

$H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L$,

որտեղ ${\vec {p}}$-ն մասնիկի ընդհանրացված իմպուլսն է, ${\dot {\vec {q}}}$-ն՝ ընդհանրացված արագությունը։

Ֆիզիկական իմաստը

Ըստ էության Համիլտոնի ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է լոկալ դիսպերսիայի օրենք, որը $\omega$ քվանտային հաճախությունը (ալիքային ֆունկցիայի տատանումների հաճախությունը) արտահայտում է $\mathbf {k}$ ալիքային վեկտորով տարածության յուրաքանչյուր $\mathbf {x}$ կետի համար.

$\omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} )$

Այսպես, դասական մոտարկմամբ (ալիքային վեկտորի բարձր հաճախություն և մեծություն և $\mathbf {x}$-ից համեմատաբար փոքր կախվածություն) այս օրենքը բավականաչափ ակնհայտ նկարագրում է ալիքային փաթեթի շարժումը Համիլտոնի կանոնիկ հավասարումների միջոցով, որոնցից մեկը $({\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i})$-ն է և մեկնաբանվում է որպես դիսպերսիայի օրենքից ստացված խմբային արագության բանաձև, իսկ մյուսները՝ $({\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i})$՝ որպես ալիքային վեկտորի փոփոխություն, մասնավորապես՝ պտույտ որոշակի տիպի անհամասեռ միջավայրում ալիքի տարաժման ժամանակ։

Գրականություն

• Механика, том 1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Под ред. Л. П. Питаевского. 4-е изд., 224 с., 2007, 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5