Կոշիի խնդիր

Կոշիի խնդիր – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են $t=0$ -ի, իսկ լուծումները որոնվում են $t>0$ -ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝

գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
լուծումը արդյոք միակն է,
եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի $y=f(x)$ լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը $(x_{0},y_{0})$ կետի փոքր շրջակայքում ունի $y=f(x)$ ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ $(x_{0},y_{0})$ կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ խմբագրել

առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝

\left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.

,

$n$ -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ ( $n$ -րդ կարգի սովորական համակարգ)`

\left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\\ldots \\y_{n}^{\prime }=f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})=y_{01}\\\ldots \\y_{n}(x_{0})=y_{0n}\end{matrix}}\iff \right.

\left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.

,

$n$ -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`

\left\{{\begin{matrix}y^{(n)}=f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})\\y(x_{0})=y_{01}\\\ldots \\y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0n}\end{matrix}}\iff \right.

\left\{{\begin{matrix}y_{1}^{\prime }=y_{2}\quad (=y')\\\ldots \\y_{n-1}^{\prime }=y_{n}\quad (=y^{(n-1)})\\y_{n}^{\prime }=f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})=y_{01}\quad (=y(x_{0}))\\\ldots \\y_{n}(x_{0})=y_{0n}\quad (=y^{(n-1)}(x_{0}))\end{matrix}}\right.

,

Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար խմբագրել

Դիցուք $D\subset R_{x}\times R_{y}^{n}$ տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

\left\{{\begin{matrix}y^{\prime }(x)=f(x,y(x))\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.

,

որտեղ $(x_{0},y_{0})\in D$ : Դիցուք ${\overline {D}}$ -ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք $a>0$ և $b>0$ այնպիսին են, որ $D$ տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

$R=\{(x,y):x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a,y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b\}$ ,

այդ դեպքում $[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]$ հատվածի վրա, որտեղ $\alpha =\min\{a,b/M\}$ , $M=\max \limits _{(x,y)\in R}|f(x,y)|$ , գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, $f(x,y)=y^{2}+1$ և $x_{0}=0,y_{0}=0$ -ի համար $y(x)=\tan(x)$ -ի լուծումը գոյություն ունի միայն $(-\pi ,\pi )$ միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, $f(x,y)={\sqrt {y}},x_{0}=0,y_{0}=0$ –ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ, $f(x,y)$ ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին $D$ -ի վրա կախված $y$ -ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի $L$ հաստատուն, որ

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$

բոլոր $(x,y_{i})\in D,i=1,2...$ -ի համար։

Դիցուք $f(x,y)$ -ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին $D$ -ի վրա կախված $y$ -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ $D$ -ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ $y$ -ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք $f$ ֆունկցիան բավարարում է $|f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D$ պայմանին, որտեղ $A>0$ հաստատունը կախված չէ ոչ $x$ -ից և ոչ էլ $y$ -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում $D$ -ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ $x$ գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

Տես նաև խմբագրել

Գրականություն խմբագրել

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 5, էջ 589)։