Գրավիտացիոն պոտենցիալ

Գրավիտացիոն պոտենցիալ, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է $\varphi$ տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ

Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

$L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi$, որտեղ $m$֊ը մասնիկի զանգվածն է, $q$֊ն՝ կոորդինատները, $\varphi$֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։

L լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$,

ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

${\ddot {q}}=-grad(\varphi )$:

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը

Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը

Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է

$\varphi =-{\frac {Gm}{R}}$,

որտեղ $G$֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, $m$֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, $R$֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական $\rho$ խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․

$\Delta \varphi =-4\pi G\rho$,

որտեղ $\Delta$֊ն Լապլասի օպերատորն է, $\rho$֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝

$\varphi =-G\int _{V}{\frac {\rho dV}{r}},$,

որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։ Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան

Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

$U={\frac {1}{2}}\int {\mu \varphi dV},\qquad \qquad (1)$

արտահայտությունը, որտեղ $\mu$֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, $\varphi$֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, $V$֊ն՝ մարմնի ծավալը։

Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ

Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

$\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right)\qquad \qquad (2),$

տեսքը, որտեղ $M=\int \mu dV$֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ

$D_{\alpha \beta }=\int \mu (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV$

մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

$J_{\alpha \beta }=\int \mu (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV$

իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

$D_{\alpha \beta }=J_{\gamma \gamma }\delta _{\alpha \beta }-3J_{\alpha \beta }$

առնչություններով։

Մոլորակների գրավիտացիոն պոտենցիալը

Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

$U={\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nm}\cos(m\lambda )+S_{nm}\sin(m\lambda ))P_{n}^{k}(\sin \theta )\right)$։

Այստեղ $r,\theta ,\lambda$֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, $P_{n}$֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, $P_{n}^{k}$֊ը՝ Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, $J_{n},C_{nm},S_{nm}$֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան

Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով (2) արտահայտությունը։ m զանգվածով, a շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի U գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

$U={\frac {-3Gm^{2}}{5a}}$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը

հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի

${\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds}}{\frac {dx^{s}}{ds}}=0$,

տեսքը, որտեղ $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{\frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}})$֊ն Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, $g_{ik}$֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով ${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}$ շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ $\varphi$ գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}\Gamma _{44}^{i}$

տեսքը $i=1,2,3$ տարածական և $x^{4}=ct$ ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, $\Gamma _{44}^{i}$֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{44}}{dx^{i}}}$ և այսպիսով ստանալ

${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}$

շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ $\varphi$ գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի $g_{44}$ բաղադրիչները կապված են

$\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)$, $g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right)$

առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է

$ds^{2}=g_{44}(dx^{4})^{2}$,

իսկ ժամանակը՝

$t={\frac {x^{4}}{c}}$,

ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի

$t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}\approx t(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}})$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։

Տես նաև

• Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն

Գրականություն

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
• С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
• К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
• Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գրավիտացիոն պոտենցիալ» հոդվածին։