Գծային արտապատկերում

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ $y=kx$) տեսքի ֆունկցիաներ։

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։

Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։

Ֆորմալ սահմանումը

$V$ վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը $K$ դաշտի վրա $W$ վեկտորային տարածությունում նույն $K$ դաշտի համար (գծային օպերատոր $V$-ից $W$) կոչվում է արտապատկերում՝

$f\colon V\to W$,

որը բավարարում է գծային պայմանին՝

$f(x+y)=f(x)+f(y)$,

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$.

ցանկացած $x,y\in V$ և $\alpha \in K$։

Եթե $V$ և $W$ միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա $f$-ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածություն

Եթե $K$ հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
• $(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

ապա $V$-ից $W$ բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է ${\mathcal {L}}(V,W)$-ով։

Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։

Եթե $V$ և $W$ վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի $N$ թիվ այնպիսի, որ $\forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}$: Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ $N$ հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա․ $\|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}:$

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե $W$ տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

Հակադարձ օպերատոր

$A^{-1}$ օպերատորը կոչվում է հակադարձ $A$ գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․ $A^{-1}A=AA^{-1}=1$։

$A^{-1}$ օպերատորը, որը հակադարձ է $A$ գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե $A$ -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ $F$-տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերման

Գծային արտապատկերման – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք $\mathbf {e} _{k}$ բազիսը։ Դիցուք $\mathbf {x}$-ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

$\mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} _{k}$,

որտեղ $x^{k}$-ն $\mathbf {x}$ վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։ Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։ Դիցուք $\mathbf {A}$-ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

$\mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} _{k}$։

$\mathbf {Ae} _{k}$ վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

$\mathbf {Ae} _{k}=a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}$,

որտեղ $a_{k}^{j}$-ն $\mathbf {Ae} _{k}$-ի $k$-րդ վեկտորի $j$-րդ կոորդինատը է։ Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

$\mathbf {Ax} =x^{k}a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}=(a_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} _{j}$։

$a_{k}^{j}x^{k}$ արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, $a_{k}^{j}$ մատրիցը $x^{k}$ սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի $\mathbf {Ax}$ վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է $\mathbf {x}$ վեկտորի վրա $\mathbf {A}$ օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

 Մեկնաբանություն՝ Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է $\mathbf {e} _{k}$ բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Փոխակերպման օրինակ

Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,$

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռակողմի։ Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ ու ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։ Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R² գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։

Հորիզոնական տեղաշարժ[en] (m=1.25)	Հորիզոնական արտապատկերում	Սեղմում[en] (r=3/2)	Երկրաչափություն (3/2)	Պտույտ (π/6R = 30°)
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}$

Կարևոր մասնավոր դեպքեր

• Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար $W=K$:
      $f\colon V\to K$։
• Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար $V=W$(օպերատոր)։
      $f\colon V\to V$։
• Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)— $x\mapsto x$ օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
• Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է $V$-ի յուրաքանչյուր էլեմենտ $W$-ի զրոյական էլեմենտի։
• Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր $x$-ին իր պրոյեկցիայի հետ։
• Համակցված արտապատկերում $A\in L(V)$ արտապատկերմանը — $A^{*}$-ն $V^{*}$-ի վրա արտապատկերում, տրված $A^{*}f(x):=f(Ax)$ հարաբերակցությամբ։
• Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
• Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի $A$ օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ $A$ որոշման տիրույթի բոլոր $x,y$ զույգերի համար $(Ax,y)=(x,Ay)$։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
• Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է $(Ax,Ay)=(x,y)$ սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է $A^{-1}=A^{*}$ համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։

Առնչվող հասկացություններ

• Գծային արտապատկերման $f\colon V\to W$ միջուկ է կոչվում $V$ ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։

${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային $V$ տարածությունում։

• $f$ գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ $W$ ենթաբազմությունը՝

  ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

  Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն $W$ գծային տարածությունում։

• $M\subset V$ ենթաբազմության պատկեր $A$ գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է $AM=\{Ax:x\in M\}$ բազմությունը։
• $V$ և $W$ գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը $f\colon V\times U\to W$ գծային $U$ տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
• ${\tilde {L}}$ օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝

  ${\tilde {L}}=L+v$

որտեղ $L$ գծային օպերատոր է, իսկ $v$-ն՝ վեկտոր։

• Դիցուկ $A:V\to V$։ $M\subset V$ ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե $\forall x\in M,Ax\in M$

Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ $M\subset X$-ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ $X$ տրոհվում է $X=M\oplus N$ ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում $M$ ինվարիանտ է $A$ գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ $P_{M}AP_{M}=AP_{M}$, որտեղ $P_{M}$-ը պրոյեկտոր $M$ ենթատարածության վրա։

• Ֆակտոր-օպերատորներ։ Դիցուկ $A:V\to V$-ը գծային օպերատոր է և դիցուկ $M$-ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ ըստ $M$ ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է $A^{+}$ օպերատորը, որը կիրառվում է $V/\,{\overset {M}{\sim }}$-ի վրա $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]$ կանոնով, որտեղ $[Ax]$-ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է $Ax$-ը։
• Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Օրինակներ

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

• դիֆերենցացման օպերատոր՝ $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}$;
• ինտեգրման օպերատոր՝ $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$;
• որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$;
• տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$;
• $x_{0}$ կետում $f$ ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝ $L\{f\}=f(x_{0})$;
• վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ $b=Ax$;
• վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

• ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
• $y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$;
• $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)$;
• $y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$;

որտեղ $\varphi (t)$, $\varphi _{1}(t)$ և $\varphi _{2}(t)$-ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ $x(t)$-ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։