Գլանային կոորդինատային համակարգ

Գլանաձև կոորդինատային համակարգ, եռաչափ կոորդինատային համակարգ է, որը սահմանում է կետերի դիրքերը՝ կախված ընտրված առանցքի հեռավորությունից (առանցքը L՝ հակառակ պատկերում), առանցքից ուղղությունը ընտրված հղման ուղղության նկատմամբ (առանցք A) և հեռավորությունը առանցքին ուղղահայաց ընտրված հղման հարթությունից (մանուշակագույն հատված պարունակող հարթություն)։ Վերջին հեռավորությունը տրվում է որպես դրական կամ բացասական թիվ՝ կախված նրանից, թե հղման հարթության որ կողմն է ուղղված կետին։

Գլանաձև կոորդինատային համակարգ

Համակարգի ծագումն այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք կոորդինատները կարող են տրվել որպես զրո։ Սա հղման հարթության և առանցքի խաչմերուկն է։ Առանցքը տարբեր կերպ կոչվում է գլանաձև կամ երկայնական առանցք՝ այն տարբերելու բևեռային առանցքից, որն այն ճառագայթն է, որն ընկած է հղման հարթությունում՝ սկսած սկզբնակետից և ուղղված է հղման ուղղությամբ։ Երկայնական առանցքին ուղղահայաց մյուս ուղղությունները կոչվում են շառավղային գծեր։

Առանցքից հեռավորությունը կարելի է անվանել շառավղային հեռավորություն կամ շառավիղ, մինչդեռ անկյունային կոորդինատը երբեմն կոչվում է անկյունային դիրք կամ ազիմուտ։ Շառավիղը և ազիմուտը միասին կոչվում են բևեռային կոորդինատներ, քանի որ դրանք համապատասխանում են հարթության երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգին, որն անցնում է կետով, հղումային հարթությանը զուգահեռ։ Երրորդ կոորդինատը կարող է կոչվել բարձրություն կամ բարձրություն (եթե հղման հարթությունը համարվում է հորիզոնական), երկայնական դիրք, կամ առանցքային դիրք։

Գլանաձև կոորդինատները օգտակար են երկայնական առանցքի շուրջ որոշակի պտտվող սիմետրիա ունեցող առարկաների և երևույթների հետ կապված, ինչպիսիք են ջրի հոսքը ուղիղ խողովակում՝ կլոր խաչմերուկով, ջերմության բաշխումը մետաղական գլանում, էլեկտրամագնիսական դաշտերը, որոնք առաջանում են էլեկտրական հոսանքի միջոցով։ երկար, ուղիղ մետաղալարեր, ակրեցիոն սկավառակներ աստղագիտության մեջ և այլն։

Դրանք երբեմն կոչվում են «գլանային բևեռային կոորդինատներ» և «բևեռային գլանաձև կոորդինատներ» և երբեմն օգտագործվում են գալակտիկայում աստղերի դիրքը որոշելու համար («գալակտոկենտրոն գլանաձև բևեռային կոորդինատներ»)։

Սահմանում

P կետի երեք կոորդինատները (ρ, φ, z) սահմանվում են հետևյալ կերպ.

• Ռ ճառագայթային հեռավորությունը էվկլիդեսյան հեռավորությունն է զ առանցքից մինչև Պի կետ։
• Ֆ ազիմուտը անկյունն է ընտրված հարթության վրա հղման ուղղության և հարթության վրա Պի սկզբնակետից մինչև Պի պրոյեկցիան գծի միջև։
• Առանցքային կոորդինատը կամ բարձրությունը զ-ն ընտրված հարթությունից մինչև Պի կետ նշանավոր հեռավորությունն է։

Եզակի գլանաձև կոորդինատներ

Ինչպես բևեռային կոորդինատներում, նույն կետը գլանաձև կոորդինատներով (ρ, φ, z) ունի անսահման շատ համարժեք կոորդինատներ, մասնավորապես (ρ, φ ± n×360°, z) և (−ρ, φ ± (2n + 1)×։ 180°, z), որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Ավելին, եթե շառավիղը զրո է, ապա ազիմուտը կամայական է։

Այն իրավիճակներում, երբ ինչ-որ մեկը ցանկանում է յուրաքանչյուր կետի համար եզակի կոորդինատների հավաքածու,շառավիղը չի կարող լինել ոչ բացասական (ρ ≥ 0), իսկ φ ազիմուտը՝ 360° ընդգրկող որոշակի միջակայքում, օրինակ՝ [−180°, +180°] կամ [0,360°]:

Կոնվենցիաներ

Գլանային կոորդինատների նշումը միատեսակ չէ։ ԻՍՈ ստանդարտ 31-11-ը խորհուրդ է տալիս (ρ, φ, z), որտեղ ρ-ը ճառագայթային կոորդինատն է, φ ազիմուտը և z բարձրությունը։ Այնուամենայնիվ, շառավիղը նաև հաճախ նշվում է r կամ s, ազիմուտը՝ θ կամ t, իսկ երրորդ կոորդինատը՝ h կամ (եթե գլանաձև առանցքը հորիզոնական է) x կամ համատեքստին հատուկ տառերով։

Գլանային կոորդինատների կոորդինատային մակերեսները (ρ, φ, z). Կարմիր մխոցը ցույց է տալիս ρ = 2-ով կետերը, կապույտ հարթությունը ցույց է տալիս z = 1-ով կետերը, իսկ դեղին կիսհարթությունը՝ φ = −60°-ով կետերը: Z-առանցքը ուղղահայաց է, իսկ x-առանցքը ընդգծված է կանաչով: Երեք մակերեսները հատվում են P կետում այդ կոորդինատների հետ (ցուցադրվում է որպես սև գունդ); P-ի դեկարտյան կոորդինատները մոտավորապես (1.0, −1.732, 1.0) են։

Գլանաձև կոորդինատային մակերեսներ. Երեք ուղղանկյուն բաղադրիչներ՝ ρ (կանաչ), φ (կարմիր) և z (կապույտ), որոնցից յուրաքանչյուրը աճում է հաստատուն արագությամբ: Կետը գտնվում է երեք գունավոր մակերեսների խաչմերուկում:

Կոնկրետ իրավիճակներում և շատ մաթեմատիկական գծագրերում դրական անկյունային կոորդինատը չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես երևում է դրական բարձրություն ունեցող ցանկացած կետից։

Կոորդինատների համակարգի փոխարկումները

Գլանային կոորդինատային համակարգը շատ եռաչափ կոորդինատային համակարգերից մեկն է։ Նրանց միջև փոխակերպման համար կարող են օգտագործվել հետևյալ բանաձևերը։

Դեկարտյան կոորդինատները

Գլանային և դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման համար հարմար է ենթադրել, որ առաջինի հարթությունը դեկարտյան xy հարթությունն է (z = 0 հավասարումով), իսկ գլանաձև առանցքը դեկարտյան z առանցքն է։ Այնուհետև z-կոորդինատը նույնն է երկու համակարգերում, և գլանաձևի (ρ, φ, z) և դեկարտյան (x, y, z) միջև համապատասխանությունը նույնն է, ինչ բևեռային կոորդինատների համար, մասնավորապես.

$${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$$

մի ուղղությամբ, և

$${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$$

մյուսի մեջ։ Արկսինային ֆունկցիան սինուսի ֆունկցիայի հակառակն է և ենթադրվում է, որ վերադարձնում է տիրույթի անկյունը [−π2, +π2] = [−90°, +90°]։ Այս բանաձևերը տալիս են ազիմուտ φ միջակայքում [−90°, +270°].

Օգտագործելով արկտանգենս ֆունկցիան, որը վերադարձնում է նաև տիրույթի անկյուն [−π2, +π2] = [−90°, +90°], կարելի է նաև հաշվարկել 𝜑 առանց հաշվարկների 𝜌  առաջին

$${\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$$

Այլ բանաձևերի համար տե՛ս Բևեռային կոորդինատային համակարգը։

Շատ ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են ֆունկցիա, որը կհաշվի ճիշտ ազիմուտ φ, (−π, π) միջակայքում, տրված x և y, առանց վերը նշված դեպքերի վերլուծություն կատարելու անհրաժեշտության։ Օրինակ, այս ֆունկցիան C ծրագրավորման լեզվում կոչվում է atan2(y, x), իսկ Common Lisp-ում (atan y x):

Գնդաձև կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատները (շառավիղ r, բարձրություն կամ թեքություն θ, ազիմուտ φ), կարող են փոխարկվել գլանաձև կոորդինատների կամ դրանցից՝ կախված նրանից, թե θ-ը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն, հետևյալ կերպ,

Գնդաձև և գլանաձև կոորդինատների միջև փոխակերպում

Փոխակերպում	կոորդինատ	θ բարձրություն	θ թեքություն
Գլանաձև	ρ =	r cos θ	r sin θ
	φ =	φ
	z =	r sin θ	r cos θ
Գնդաձև	r =	${\textstyle {\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$
	θ =	${\textstyle \arctan \left({\frac {z}{\rho }}\right)}$	${\textstyle \arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)}$
	φ =	φ

Գծային և ծավալային տարրեր

Գլանային կոորդինատներում ծավալների ինտեգրման մանրամասների համար օգտվում են մի քանի ինտեգրալներից, իսկ վեկտորային հաշվարկի բանաձևերի համար՝ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներից։

Գլանաձև բևեռային կոորդինատների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների դեպքում օգտակար է իմանալ գծի և ծավալի տարրերը. դրանք օգտագործվում են ինտեգրման մեջ՝ ուղիների և ծավալների հետ կապված խնդիրների լուծման համար։

Գծային տարրն է

$$\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.$$

Ծավալի տարրն է

$$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$$

Մակերեւութային տարրը հաստատուն շառավղով ρ (ուղղահայաց գլան) մակերեսում է

$$\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$$

Մակերեւութային տարրը հաստատուն ազիմուտ φ (ուղղահայաց կիսահարթություն) մակերեսում է

$$\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.$$

Մակերեւութային տարրը մշտական բարձրության z (հորիզոնական հարթություն) մակերեսում է

$$\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .$$

Այս համակարգում del օպերատորը հանգեցնում է գրադիենտի, դիվերգենցիայի, գանգուրի և լապլասիի հետևյալ արտահայտությունների։

$${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$$

Գլանային ներդաշնակություն

Գլանային համաչափություն ունեցող համակարգում Լապլասի հավասարման լուծումները կոչվում են գլանային ներդաշնակություն։

Կինեմատիկա

Գլանաձև կոորդինատային համակարգում մասնիկի դիրքը կարելի է գրել այսպես

$${\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.$$

Մասնիկի արագությունը նրա դիրքի ժամանակային ածանցյալն է,

$${\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},$$

որտեղ ժամանակը $\rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}$ հաշվում են Պուասոնի բանաձևով ${\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}$. Իսկ արագացումը ստացվում է

$${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}$$