Բրետշնայդերի բանաձև

Երկրաչափության մեջ Բրետշնայդերի բանաձևը կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի, $\alpha \,$ և $\gamma \,$ հանդիպակած անկյուների միջև՝

Նկար 1

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

$={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.$

հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, $\alpha$-ն և $\gamma$-ն՝ երկու հանդիպակած անկյունները։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդը։

Ապացույց

$\triangle DAB$ և $\triangle BCD$ նշանակենք համապատասխանաբար ${\mathcal {A}}_{1}$ և ${\mathcal {A}}_{2}$ տառերով։ Ըստ եռանկյան մակերեսի

${\mathcal {A}}_{1}={\dfrac {ab\sin \alpha }{2}}$, ${\mathcal {A}}_{2}={\dfrac {cd\sin \gamma }{2}}$ ըստ մակերեսների աքսիոմի

${\mathcal {A}}^{2}={\dfrac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma +c^{2}d^{2}\sin ^{2}\gamma \right)$ (1)

ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝

$e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha$

$e^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma$

այստեղից՝

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma$

հավասարման երկու կողմերին գումարելով $2ab\cos \alpha -c^{2}-d^{2}$ արտահայտությունը կստանանք

$a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\cos \alpha -2cd\cos \gamma$

կամ՝

$\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -8abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +4c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma$

հավասարումը, որը համարժեք է

${\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma \right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=0$

արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ և $\cos \left({x-y}\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ նույնություններից կստանանք

${\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}$

${\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)$

${\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)$

${\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd-8abcd\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)$

${\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}(-a+b+c+d)\cdot (a-b+c+d)\cdot (a+b-c+d)\cdot (a+b+c-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)$

${\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)$

${\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \left(1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)$

${\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\dfrac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

Տես նաև

• Բրահմագուպտայի բանաձև

Աղբյուրներ

• Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
• E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
• C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W., "Bretschneider's formula", MathWorld.
• Bretschneider's formula at proofwiki.org