Բոլոր ձիերը նույն գույնի են
Բոլոր ձիերը նույն գույնի են, կեղծ պարադոքս, որն առաջանում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի թերի օգտագործումից[1]։ Իրականում հակասություն չկա, քանի որ այս փաստարկներն ունեն էական թերություն, որը նրանց սխալ է դարձնում։ Այս օրինակն ի սկզբանե առաջարկվել է 1954 թվականին Ջորջ Պոլիայի գրքում տարբեր տերմիններով, ինչպիսիք են օրինակ՝ «Ցանկացած n թվեր հավասար են» կամ «Ցանկացած n աղջիկներ ունեն նույն գույնի աչքեր»՝ որպես մաթեմատիկական ինդուկցիայի վարժություն[2]։
Պարադոքսի «ձիեր» տարբերակը ներկայացվել է 1961 թվականին Ջոել Է. Կոհենի երգիծական հոդվածում։ Այն նշվել է որպես լեմմա, որը մասնավորապես թույլ է տվել հեղինակին «ապացուցել», որ Ալեքսանդր Մակեդոնացին գոյություն չունի, և նա ուներ անսահման թվով վերջույթներ[3]։
Փաստարկ խմբագրել
Փաստարկն ապացուցվում է ինդուկցիայի միջոցով։ Նախ, մենք որպես հիմք ընդունում ենք մեկ ձի ( ), այնուհետև ապացուցում ենք, որ եթե 𝑛 ձիերն ունեն միևնույն գույնը, ապա ձիերը նույնպես պետք է ունենան նույն գույնը։
Հիմնական դեպք՝ մեկ ձի խմբագրել
Միայն մեկ ձիու դեպքը չնչին է։ Եթե «խմբում» կա միայն մեկ ձի, ապա ակնհայտորեն այդ խմբի բոլոր ձիերն ունեն նույն գույնը։
Ինդուկտիվ քայլ խմբագրել
Ենթադրենք, որ 𝑛 ձիերը միշտ նույն գույնի են։ Դիտարկենք մի խումբ, որը բաղկացած է ձիերից։
Նախ, բացառեք մեկ ձիուն և նայեք միայն մյուս 𝑛 ձիուն, սրանք բոլորը նույն գույնի են, քանի որ 𝑛 ձիերը միշտ նույն գույնի են։ Նմանապես, բացառեք որևէ այլ ձիու (որը նույնական չէ առաջին հեռացվածին) և նայեք միայն մյուս 𝑛-ին։ Նույն պարզաբանմամբ սրանք նույնպես պետք է լինեն նույն գույնի։ Հետևաբար, առաջին ձին, որը բացառվել էր, ունի նույն գույնը, ինչ որ չբացառված ձիերը։ Հետևաբար, բացառված առաջին ձիերը, չբացառված ձիերը և բացառված վերջին ձիերը նույն գույնի են, և մենք ապացուցել ենք, որ
- Եթե 𝑛 ձիերը նույն գույնն ունեն, ուրեմն 𝑛 +1 ձիերը նույնպես կունենան նույն գույնը։
Մենք արդեն տեսանք հիմնական դեպքում, որ կանոնը («բոլոր ձիերն ունեն նույն գույնը») գործում էր և 𝑛=1։ Այստեղ ապացուցված ինդուկտիվ քայլը ենթադրում է, որ կանոնը գործում է և, եթե 𝑛=1-ի, ապա այն նաև պետք է վավեր լինի 𝑛=2-ի դեպքում, որն իր հերթին ենթադրում է, որ 𝑛=3 և այլն։
Այսպիսով, ձիերի ցանկացած խմբում բոլոր ձիերը պետք է լինեն նույն գույնի[4][5]։
Բացատրություն խմբագրել
Վերոնշյալ փաստարկը թույլ է տալիս անուղղակի ենթադրություն անել այն մասին, որ 𝑛+1 ձիերի բազմությունն ունի առնվազն 3 չափ, հետևաբար ձիերի երկու համապատասխան ենթաբազմությունները, որոնց նկատմամբ կիրառվում է ինդուկցիան, անպայման ունեն ընդհանուր տարր[2]։ Սա ճիշտ չէ ինդուկցիայի առաջին քայլում, այսինքն երբ 𝑛+1=2։
Եթե երկու A և B ձիերից A ձին հեռացվի, ճիշտ է, որ խմբի մնացած ձիերը կունենան միևնույն գույնը (մնում է միայն B ձին)։ Նույնը ճիշտ է, երբ B ձին հեռացվում է։ Այնուամենայնիվ, «խմբում առաջին ձին նույն գույնի է, ինչ մեջտեղի ձիերը» արտահայտությունն անիմաստ է, քանի որ «մեջտեղում ձիեր» չկան։ Հետևաբար, վերը նշված ապացույցի տրամաբանական կապը կտրված է։ Թվում է, թե այն հիմնավոր պատճառաբանությամբ ցույց է տալիս մի բան, որն ակնհայտորեն կեղծ է։
Ծանոթագրություններ խմբագրել
- ↑ Łukowski, Piotr (2011). Paradoxes. Springer. էջեր 15.
- ↑ 2,0 2,1 Thomas VanDrunen, Discrete Mathematics and Functional Programming, Franklin, Beedle and Associates, 2012, Section "Induction Gone Awry"
- ↑ Cohen, Joel E. (1961), «On the nature of mathematical proofs», Worm Runner's Digest, III (3). Reprinted in A Random Walk in Science (R. L. Weber, ed.), Crane, Russak & Co., 1973, pp. 34-36
- ↑ Pólya, George (1954). Induction and Analogy in Mathematics. Princeton University Press. էջ 120.
- ↑ «All Horses are the Same Color». Harvey Mudd College Department of Mathematics. Արխիվացված է օրիգինալից 2019 թ․ ապրիլի 12-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 6-ին.