Աքիլլեսի թիվ

Աքիլլեսի թիվ, որևէ ամբողջ թվի ամբողջ աստիճան չհանդիսացող բնական թիվ, որը նաև բաժանվում է իր պարզ բաժանարարներից յուրաքանչյուրի քառակուսու վրա։

Այլ կերպ ասած, n բնական թիվը հանդիսանում է Աքիլլեսի թիվ, եթե տեղի են ունենում հետևյալ երկու պայմանները՝

1. n-ը պետք է բաժանվի իր բոլոր պարզ բաժանարարների քառակուսիների վրա, այսինքն, եթե n-ը բաժանվում է p պարզ թվի վրա, ապա այն պետք է բաժանվի նաև p² թվի վրա,
2. n-ը չպետք է լինի որևէ ամբողջ թվի ամբողջ աստիճան, այսինքն, գոյություն չունեն այնպիսի m > 1 և k > 1 ամբողջ թվեր, որոնց դեպքում m^k = n։

Աքիլլեսի թվերն իրենց անունը ստացել են ի պատիվ Տրոյական պատերազմի հերոս Աքիլլեսի, ով հզոր էր, բայց կատարյալ չէր։

Աքիլլեսի թվերի հաջորդականությունը

n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k թիվը Աքիլլեսի թիվ է, եթե min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2 և gcd(a₁, a₂, …, a_k) = 1։

Մինչև 5000 Աքիլլեսի թվերի հաջորդականությունը՝

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (A052486-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

Աքիլլեսի թվերի հաջորդականության ամենափոքր իրար հաջորդող անդամներն են՝

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

Օրինակներ

108-ը պարզ արտադրիչների վերլուծելու արդյունքում ստացվում է, որ 108 = 2² · 3³։ 2 և 3 պարզ թվերի քառակուսիները՝ 2² = 4-ը և 3² = 9-ը, 108 թվի բաժանելիներ են։ Քանի որ 108-ը հնարավոր չէ ներկայացնել m^k տեսքով, որտեղ m-ը և k-ն 1-ից մեծ ամբողջ թվեր են, ուրեմն 108-ը Աքիլլեսի թիվ է։

Մեկ այլ օրինակ։ 784-ը Աքիլլեսի թիվ չէ։ Ճիշտ է, նրա երկու պարզ բաժանարարների՝ 2-ի և 7-ի քառակուսիները՝ 2² = 4-ը և 7² = 49-ը, 784-ի բաժանարարներ են, բայց 784-ը ամբողջ թվի աստիճան է։ Դրանում կարելի է համոզվել որոշակի մաթեմատիկական գործություններով՝

$784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}\,$

Այսպիսով, 784-ը Աքիլլեսի թիվ չէ։